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Discutindo Curiosidades Matemáticas 2

Demorei mas vou seguir a discussão iniciada no post Discutindo Curiosidades Matemáticas 1, pois o leitor Lucas Bonfim forneceu uma boa referência para o tema, obrigado pela contribuição; um texto escrito pelo professor Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira (Gugu), do IMPA: Números Mágicos e Contas de Dividir.

 

Lembrando da Curiosidade

A curiosidade era o padrão cíclico destas multiplicações:

$$142857\times 2=285714.$$

$$142857\times 3=428571.$$

$$142857\times 4=571428.$$

$$142857\times 5=714285.$$

$$142857\times 6=857142.$$

$$142857\times 7=999999.$$

E a questão era saber por que isto acontece… seria coincidência?

 

A Solução do Gugu

O número $142857$ é exatamente a sequência dos algarismos da dízima periódica da fração $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$ (onde a linha superior indica a dízima periódica). Vamos ver o que isto tem a ver com a curiosidade.

Vamos analisar a divisão de $1$ por $7$ passo a passo. Pelo algoritmo da divisão:

  1. $\qquad 1=0\times 7+1.$
  2. $\qquad 10=1\times 7+3.$
  3. $\qquad 30=4\times 7+2.$
  4. $\qquad 20=2\times 7+6.$
  5. $\qquad 60=8\times 7+4.$
  6. $\qquad 40=5\times 7+5.$
  7. $\qquad 50=7\times 7+1.$

A partir daí o processo se repete (daí a dízima periódica). Multiplicando a segunda igualdade por $10$ e substituindo o $30$ pelo item 3. acima:

$$100-7\times 10=30\qquad\Longrightarrow\qquad 100-7\times 10=4\times 7+2.$$

Temos (processo análogo para as seguintes),

  1. $\qquad\qquad\qquad\qquad 100-7\times (10+4)=2 \qquad\Longrightarrow\qquad 100-7\times 14=2$.
  2. $\qquad\qquad\qquad 1000-7\times (100+40+2)=6\qquad\Longrightarrow\qquad 1000-7\times 142=6$.
  3. $\qquad\qquad 10000-7\times (1000+400+20+8)=4\qquad\Longrightarrow\qquad 10000-7\times 1428=4$.
  4. $ 100000-7\times (10000+4000+200+80+5)=5\qquad\Longrightarrow\qquad 100000-7\times 14285=5$.
  5. $1000000-7\times (100000+40000+2000+800+50+7)=1 \Longrightarrow 1000000-7\times 142857=1$.
    (Veja que este último caso é o $999999=7\times 142857$.)

Agora, pelo item 1. dividido por $7$, temos

$$2\times \frac{1}{7}=100\times \frac{1}{7}-14.$$

Em forma decimal,

$$2\times 0,\overline{142857}=100\times 0,\overline{142857}-14.$$

$$2\times 0,\overline{142857}=14,\overline{285714}-14.$$

$$2\times 0,\overline{142857}=0,\overline{285714}.$$

Multiplicando por $1000000$:

$$2\times 142857,\overline{142857}=285714,\overline{285714}.$$

$$2\times (142857+0,\overline{142857})=285714+0,\overline{285714}.$$

$$2\times 142857+2\times 0,\overline{142857})=285714+0,\overline{285714}.$$

Cortando os dois termos iguais (as dízimas),

$$2\times 142857=285714.$$

Os outros itens são análogos. Vou fazer mais um só para ficar mais confortável, hehe. Pelo item 2. dividido por $7$, temos

$$6\times \frac{1}{7}=1000\times \frac{1}{7}-142.$$

Em forma decimal,

$$6\times 0,\overline{142857}=1000\times 0,\overline{142857}-142.$$

$$6\times 0,\overline{142857}=142,\overline{857142}-142.$$

$$6\times 0,\overline{142857}=0,\overline{857142}.$$

Multiplicando por $1000000$:

$$6\times 142857,\overline{142857}=857142,\overline{857142}.$$

$$6\times (142857+0,\overline{142857})=857142+0,\overline{857142}.$$

$$6\times 142857+2\times 0,\overline{142857})=857142+0,\overline{857142}.$$

Cortando os dois termos iguais (as dízimas),

$$6\times 142857=857142.$$

Eis o motivo algébrico a mais do que simplesmente dizer que é coincidência!

 

A mesma curiosidade com outros números

Esse fenômeno cíclico acontece sempre que o período da representação decimal de $\frac{1}{n}$, $n\in\mathbb{N}$, for o maior possível: ($n-1$).

Por exemplo, para $n=17$, $\frac{1}{17}=0,\overline{0588235294117647}$:

  1. $\qquad 588235294117647\times 2=1176470588235294.$
  2. $\qquad 588235294117647\times 3=1764705882352941.$
  3. $\qquad 588235294117647\times 4=2352941176470588.$
  4. $\qquad 588235294117647\times 5=2941176470588235.$
  5. $\qquad 588235294117647\times 6=3529411764705882.$
  6. $\qquad 588235294117647\times 7=4117647058823529.$
  7. $\qquad 588235294117647\times 8=4705882352941176.$
  8. $\qquad 588235294117647\times 9=5294117647058823.$
  9. $\qquad 588235294117647\times 10=5882352941176470.$
  10. $\qquad 588235294117647\times 11=6470588235294117.$
  11. $\qquad 588235294117647\times 12=7058823529411764.$
  12. $\qquad 588235294117647\times 13=7647058823529411.$
  13. $\qquad 588235294117647\times 14=8235294117647058.$
  14. $\qquad 588235294117647\times 15=8823529411764705.$
  15. $\qquad 588235294117647\times 16=9411764705882352.$
  16. $\qquad 588235294117647\times 17=9999999999999999.$

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