Discutindo Curiosidades Matemáticas 2
Demorei mas vou seguir a discussão iniciada no post Discutindo Curiosidades Matemáticas 1, pois o leitor Lucas Bonfim forneceu uma boa referência para o tema, obrigado pela contribuição; um texto escrito pelo professor Carlos Gustavo Tamm de Araújo Moreira (Gugu), do IMPA: Números Mágicos e Contas de Dividir.
Lembrando da Curiosidade
A curiosidade era o padrão cíclico destas multiplicações:
$$142857\times 2=285714.$$
$$142857\times 3=428571.$$
$$142857\times 4=571428.$$
$$142857\times 5=714285.$$
$$142857\times 6=857142.$$
$$142857\times 7=999999.$$
E a questão era saber por que isto acontece… seria coincidência?
A Solução do Gugu
O número $142857$ é exatamente a sequência dos algarismos da dízima periódica da fração $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$ (onde a linha superior indica a dízima periódica). Vamos ver o que isto tem a ver com a curiosidade.
Vamos analisar a divisão de $1$ por $7$ passo a passo. Pelo algoritmo da divisão:
- $\qquad 1=0\times 7+1.$
- $\qquad 10=1\times 7+3.$
- $\qquad 30=4\times 7+2.$
- $\qquad 20=2\times 7+6.$
- $\qquad 60=8\times 7+4.$
- $\qquad 40=5\times 7+5.$
- $\qquad 50=7\times 7+1.$
A partir daí o processo se repete (daí a dízima periódica). Multiplicando a segunda igualdade por $10$ e substituindo o $30$ pelo item 3. acima:
$$100-7\times 10=30\qquad\Longrightarrow\qquad 100-7\times 10=4\times 7+2.$$
Temos (processo análogo para as seguintes),
- $\qquad\qquad\qquad\qquad 100-7\times (10+4)=2 \qquad\Longrightarrow\qquad 100-7\times 14=2$.
- $\qquad\qquad\qquad 1000-7\times (100+40+2)=6\qquad\Longrightarrow\qquad 1000-7\times 142=6$.
- $\qquad\qquad 10000-7\times (1000+400+20+8)=4\qquad\Longrightarrow\qquad 10000-7\times 1428=4$.
- $ 100000-7\times (10000+4000+200+80+5)=5\qquad\Longrightarrow\qquad 100000-7\times 14285=5$.
- $1000000-7\times (100000+40000+2000+800+50+7)=1 \Longrightarrow 1000000-7\times 142857=1$.
(Veja que este último caso é o $999999=7\times 142857$.)
Agora, pelo item 1. dividido por $7$, temos
$$2\times \frac{1}{7}=100\times \frac{1}{7}-14.$$
Em forma decimal,
$$2\times 0,\overline{142857}=100\times 0,\overline{142857}-14.$$
$$2\times 0,\overline{142857}=14,\overline{285714}-14.$$
$$2\times 0,\overline{142857}=0,\overline{285714}.$$
Multiplicando por $1000000$:
$$2\times 142857,\overline{142857}=285714,\overline{285714}.$$
$$2\times (142857+0,\overline{142857})=285714+0,\overline{285714}.$$
$$2\times 142857+2\times 0,\overline{142857})=285714+0,\overline{285714}.$$
Cortando os dois termos iguais (as dízimas),
$$2\times 142857=285714.$$
Os outros itens são análogos. Vou fazer mais um só para ficar mais confortável, hehe. Pelo item 2. dividido por $7$, temos
$$6\times \frac{1}{7}=1000\times \frac{1}{7}-142.$$
Em forma decimal,
$$6\times 0,\overline{142857}=1000\times 0,\overline{142857}-142.$$
$$6\times 0,\overline{142857}=142,\overline{857142}-142.$$
$$6\times 0,\overline{142857}=0,\overline{857142}.$$
Multiplicando por $1000000$:
$$6\times 142857,\overline{142857}=857142,\overline{857142}.$$
$$6\times (142857+0,\overline{142857})=857142+0,\overline{857142}.$$
$$6\times 142857+2\times 0,\overline{142857})=857142+0,\overline{857142}.$$
Cortando os dois termos iguais (as dízimas),
$$6\times 142857=857142.$$
Eis o motivo algébrico a mais do que simplesmente dizer que é coincidência!
A mesma curiosidade com outros números
Esse fenômeno cíclico acontece sempre que o período da representação decimal de $\frac{1}{n}$, $n\in\mathbb{N}$, for o maior possível: ($n-1$).
Por exemplo, para $n=17$, $\frac{1}{17}=0,\overline{0588235294117647}$:
- $\qquad 588235294117647\times 2=1176470588235294.$
- $\qquad 588235294117647\times 3=1764705882352941.$
- $\qquad 588235294117647\times 4=2352941176470588.$
- $\qquad 588235294117647\times 5=2941176470588235.$
- $\qquad 588235294117647\times 6=3529411764705882.$
- $\qquad 588235294117647\times 7=4117647058823529.$
- $\qquad 588235294117647\times 8=4705882352941176.$
- $\qquad 588235294117647\times 9=5294117647058823.$
- $\qquad 588235294117647\times 10=5882352941176470.$
- $\qquad 588235294117647\times 11=6470588235294117.$
- $\qquad 588235294117647\times 12=7058823529411764.$
- $\qquad 588235294117647\times 13=7647058823529411.$
- $\qquad 588235294117647\times 14=8235294117647058.$
- $\qquad 588235294117647\times 15=8823529411764705.$
- $\qquad 588235294117647\times 16=9411764705882352.$
- $\qquad 588235294117647\times 17=9999999999999999.$