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Sistemas Lineares 3 – Sistemas Equivalentes e Operações Elementares


Esta postagem é o fundamento do método de eliminação de Gauss ou escalonamento para resolver sistemas de equações lineares, assunto que será apresentado na próxima postagem.

Sistemas lineares 1 – Ensino Fundamental.
Sistemas lineares 2 – Interpretação Geométrica.
Sistemas lineares 4 – Método de Eliminação de Gauss ou Escalonamento.

Definição: Dizemos que dois sistemas de equações lineares com as mesmas incógnitas são equivalentes se eles possuem a(s) mesma(s) solução(ões).

Quando resolvemos um sistema linear (no caso de ter solução única), no processo das substituições, o que fazemos na verdade é passar por alguns sistemas equivalentes ao original até chegar ao sistema trivial “com cada incógnita igual a uma constante”. Por exemplo (já resolvido em Sistemas lineares 1):

$$\left\{\begin{array}{ll}
x+y=3000\\
x=y+400
\end{array}\right.\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{ll}
(y+400)+y=3000\\
x=y+400
\end{array}\right.\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{ll}
y=1300\\
x=y+400
\end{array}\right.$$

$$\Longleftrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{ll}
y=1300\\
x=(1300)+400
\end{array}\right.\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{ll}
y=1300\\
x=1700
\end{array}\right.$$

É claro que só foi razoável escrever todos esses passos porque este sistema é muito simples. Quando o sistema tem muitas equações e muitas incógnitas, o método da substituição fica impraticável.

Por isso o método de eliminação de Gauss ou escalonamento é importante, ele faz esses passos de maneira mais organizada e para qualquer sistema.

Vamos ver quais operações podemos fazer no sistema sem alterar as soluções. São as operações elementares (denotaremos cada equação por $L_i$, onde o índice $i$ é o número da linha que a equação se encontra):

  1. Trocar a posição de duas equações.
    Notação: $L_i\longleftrightarrow L_j$.

  2. Substituir uma equação por um múltiplo não nulo de si mesma, ou seja, multiplicar a ambos os membros de uma equação por uma constante diferente de zero $k\in\mathbb{R}$.
    Notação: $L_i\longleftarrow kL_i$.

  3. Substituir uma equação por um múltiplo de outra equação somada a si mesma.
    Notação: $L_j\longleftarrow kL_i+L_j$.

Vamos entender porque efetuar essas operações não muda as soluções do sistema:

Acho que quanto à primeira operação não há problemas, vamos discutir a segunda: Suponha que temos uma equação $2x-3y=-8$. As soluções desta equação são os pontos (ou vetores) da forma $$\left(\frac{3y-8}{2},y\right)\in\mathbb{R}^2,\qquad\text{pois}\ x=\frac{3y-8}{2}.$$ Fazer a segunda operação é trocar esta equação por $k(2x-3y)=k(-8)$, para algum número real $k\neq 0$. Quais são as soluções desta nova equação? Para tentar responder esta pergunta, você voltará à equação anterior, por isso elas têm as mesmas soluções.

Sobre a terceira operação, vamos efetuá-la num exemplo:

$$\left\{\begin{array}{ll}
2x-3y=-8\\
3x+4y=5
\end{array}\right.\qquad\stackrel{L_2\longleftarrow kL_1+L_2}{\Longrightarrow}\qquad\left\{\begin{array}{ll}
2x-3y=-8\\
k(2x-3y)+3x+4y=k(-8)+5
\end{array}\right.$$

No último sistema, a primeira equação é equivalente a $k(2x-3y)=k(-8)$, o que significa que podemos fazer a simplificação (cortando os termos sublinhados) na segunda equação: $$\underline{k(2x-3y)}+3x+4y=\underline{k(-8)}+5.$$ Assim voltamos ao primeiro sistema, ou seja, os dois sistemas são equivalentes.

Na próxima postagem vamos ver como usar essas operações para eliminar incógnitas e resolver sistemas.

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