Aulas particulares de Matemática on-line. promath@promath.com.br (41) 99856-2185

Sistemas Lineares 2 – Interpretação Geométrica

Esta é uma continuação natural de Sistemas lineares – 1 (ensino fundamental).

Esta interpretação geométrica é melhor fundamentada com algum conhecimento de Geometria Analítica, mas já é possível aguçar a intuição sobre sistemas lineares mesmo de quem nunca ouviu falar de Geometria Analítica. Por isso avalio esta postagem para nível de ensino médio.

Na postagem anterior fizemos distinção de sistemas com solução única, infinitas soluções e nenhuma solução, agora vai ficar mais fácil enxergar isso.

Pergunta: Uma, nenhuma ou infinitas soluções; por que não pode ter, digamos, exatamente duas soluções?

 

Duas incógnitas

Qualquer equação da forma $ax+by=c$ representa uma reta, ou seja, se marcarmos todos os pontos $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, no sistema cartesiano, que satisfazem à esta equação, o gráfico resultante é uma reta (são infinitos valores).

Se tivermos duas equações desta forma, teremos duas retas no plano. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum das duas retas. As duas retas podem:

  1. ser paralelas. O que significa que o sistema não tem solução;
  2. ser concorrentes. O sistema tem uma única solução;
  3. ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções.

Três incógnitas

Qualquer equação da forma $ax+by+cz=d$ representa um plano, isto é, se marcarmos todos os pontos $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ que satisfazem à esta equação no sistema cartesiano, o gráfico resultante é um plano (são infinitos valores).

Se tivermos duas equações desta forma, teremos dois planos no espaço. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum dos dois planos. Os dois planos podem:

  1. ser paralelos. O sistema não tem solução;
  2. ser concorrentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta;
  3. ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas pelo próprio plano.
    (Repare que não existe o caso de uma única solução. Por que?)

Se tivermos três equações desta forma, teremos três planos no espaço. As soluções do sistema são representadas pelos pontos em comum dos três planos. Os três planos podem:

  1. ser paralelos dois a dois. O sistema não tem solução;
  2. ser dois coincidentes e o outro paralelo. O sistema não tem solução;
  3. ser coincidentes. O sistema tem infinitas soluções, descritas pelo plano;
  4. ser dois coincidentes e o outro concorrente. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta;
  5. se intersectar em uma reta. O sistema tem infinitas soluções, descritas por uma reta;
  6. ser dois paralelos e outro concorrente. O sistema não tem solução;
  7. se intersectar dois a dois determinando três retas paralelas. Não tem solução;
  8. se intersectar dois a dois determinando três retas que se intersectam em apenas um ponto (visualizar o canto de uma sala). Tem uma única solução.

Observação: Além da distinção entre nenhuma, uma única ou infinitas soluções, já é possível perceber que existe mais um conceito no caso das soluções infinitas. Eu escrevi “infinitas soluções descritas por uma reta” e “infinitas soluções descritas pelo plano”. Isto é indício de que, quando temos infinitas soluções, tem ainda a questão de quantas dimensões elas determinam.

Esta notícia tem 3 comentários

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *