Álgebra Linear Aplicada – Exer. 29 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 5 da prova de 06/04/2009 e número 6 da prova de março de 2013)

Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz simétrica. Mostre que $f(x)=\sqrt{x^TAx}$ define uma norma em
$\mathbb{R}^n$ se e somente se $A$ é definida positiva.

Dica: Fatoração de Cholesky pode ser útil para mostrar a desigualdade triangular.

Resolução: (Vide comentários sobre a questão de 2013 abaixo da resolução.)

A função $f$ define uma norma em $\mathbb{R}^n$ se

i) $f(x)\geq 0$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$;

ii) $f(x)=0$ se, e somente se, $x=0$;

iii) $f(\alpha x)=|\alpha|f(x)$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$, $\forall \alpha\in\mathbb{R}$;

iv) $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in\mathbb{R}^n$.

A matriz $A$ é positiva definida se $x^TAx>0$, $\forall x\in\mathbb{R}^n-{0}$.

($\Rightarrow$) Se $f$ define uma norma, combinando i) e ii) segue imediatamente que $A$ é positiva definida.

($\Leftarrow$) Se $A$ é definida positiva, por definição segue que $f$ cumpre i) e ii). Verificar a terceira, para $x$ e $\alpha$ quaisquer,
$$f(\alpha x)=\sqrt{(\alpha x)^TA(\alpha x)}=\sqrt{\alpha^2}\sqrt{x^TAx}=|\alpha|f(x).$$
E a quarta, por fatoração de Cholesky existe $B$ tal que $A=B^TB$, então
$$f(x)=\sqrt{x^TAx}=\sqrt{x^TB^TBx}=\sqrt{(Bx)^TBx}=\left|Bx\right|.$$

Portanto, para quaisquer $x$ e $y$,
$$f(x+y)=\left|B(x+y)\right|=\left|Bx+By\right|\leq\left|Bx\right|+\left|By\right|=f(x)+f(y).$$

Como queríamos demonstrar.

Comentários sobre a questão de 2013. Neste ano a questão foi enunciada assim:

Prove que $f(x)=x^TAx$ é uma norma de vetor se e somente se $A$ é simétrica e positiva definida.

• Faltou dizer quem é $A$, é necessário dizer que é uma matriz em $\mathbb{R}^{n\times n}$.

• Faltou a raiz quadrada na definição de $f$. Sem isso falham os itens iii e iv demonstrados acima.

• A hipótese de simetria de $A$ está colocada apenas de um lado da “equivalência”, o que invalida o resultado. De fato, veja o seguinte contra-exemplo:

• $\sqrt{x^TAx}=\sqrt{\left(\begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ é uma norma, mas a matrix $A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)$ não é simétrica.

São muitos erros para uma questão só!