Aulas particulares de Matemática on-line. promath@promath.com.br (41) 99856-2185

Álgebra Linear Aplicada – Exer. 25 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 6 da segunda prova de 2012)

Considere a transformação de Householder generalizada $$P=I-axy^T.$$ Determine o que se pede:

  1. Quais condições sobre $x$ e $y$ asseguram $\left|Pu\right|_2=\left|u\right|_2$, para todo $0\neq u\in\mathbb{R}^n$.
  2. Determine $x$ tal que $Pu=ke_k$ onde $k=\left|u\right|_2$ para $u\neq 0$ dado.
  3. Obtenha $P^{-1}$.

 

Resolução:

  1. Existe um erro conceitual neste enunciado. Como é pedido condição suficiente (e não exige-se a necessidade) para que se tenha tal propriedade, basta tomar por exemplo $x=0$, e isto é uma condição suficiente.

    Bem, vamos tentar fazer as contas para ver se conseguimos descobrir o que está sendo pedido, mas não podemos perder de vista a arbitrariedade do enunciado.

    Se $x=0$ ou $y=0$, dá certo, mas este caso não é interessante. Vamos supor que $x$ e $y$ são diferentes de zero. $$\left|Pu\right|_2=\left|u\right|_2 \Longleftrightarrow \left|Pu\right|_2^2=\left|u\right|_2^2 \Longleftrightarrow (Pu)^T(Pu)=u^Tu \Longleftrightarrow u^TP^TPu=u^Tu.$$ Vamos ver quando acontece esta última igualdade: $$u^TP^TPu=u^T(I-ayx^T)(I-axy^T)u=u^Tu-au^Txy^Tu-au^Tyx^Tu+a^2u^Tyx^Txy^Tu,$$ é igual a $u^Tu$ quando $$-au^Txy^Tu-au^Tyx^Tu+a^2u^Tyx^Txy^Tu=0,$$ $$-u^Txy^Tu-u^Tyx^Tu+a\left|x\right|^2u^Tyy^Tu=0,$$ $$\left(-u^Tx-x^Tu+a\left|x\right|^2u^Ty\right)\left(y^Tu\right)=0, \forall u\in\mathbb{R}^n.$$ Como $y^Tu$ não é igual a zero para todo $u\in\mathbb{R}^n$, segue que $$-u^Tx-x^Tu+a\left|x\right|^2u^Ty=0,$$ $$-2x^Tu+a\left|x\right|^2y^Tu=0,$$ $$\left(-2x+a\left|x\right|^2y\right)^Tu=0,$$

    Esta passagem está sob investigação.

    $$-2x+a\left|x\right|^2y=0,$$ $$y=\frac{2}{a\left|x\right|^2}x.$$ Esta última igualdade é a condição procurada sobre $x$ e $y$.


    ——————–x——————–x——————–

  2. Dado $y\neq 0$, encontre o $x$… Mais razoável, não é?

    Devemos ter $$\left|u\right|_2e_k=Pu=(I-axy^T)u=u-axy^Tu,$$ $$axy^Tu=u-\left|u\right|_2e_k,$$ $$x=\frac{u-\left|u\right|_2e_k}{ay^Tu}.$$

    Conferindo: $$Pu=u-axy^Tu=u-a\left(\frac{u-\left|u\right|_2e_k}{ay^Tu}\right)y^Tu=u-u+\left|u\right|_2e_k=\left|u\right|_2e_k.$$


    ——————–x——————–x——————–

  3. Suponha que $x$ e $y$ são não nulos, para não se preocupar com casos triviais.

    Suponha por um instante que a inversa de $P$ tem a forma $P^{-1}=I-bxy^T$. Neste caso, $$I=PP^{-1}=(I-axy^T)(I-bxy^T)=I-axy^T-bxy^T+abxy^Txy^T,$$ $$0=-axy^T-bxy^T+abx(y^Tx)y^T,$$ $$axy^T=b(-xy^T+ay^Txxy^T),$$ $$axy^T=b(ay^Tx-1)xy^T.$$ Como $xy^T$ é uma matriz não nula, uma entrada diferente de zero é suficiente para concluir que $$a=b(ay^Tx-1).$$

    Mas, pelo Exer. 2 – Qualificação, sabemos que $P$ possui inversa se, e somente se, $ax^Ty-1\neq 0$. Isto mostra que a nossa suposição (de que a $P^{-1}$ tem aquela forma particular) na verdade engloba todas as matrizes $P=I-axy^T$ que possuem inversa, não estamos particularizando. Enfim, $$b=\frac{a}{ay^Tx-1},$$ ou seja, quando $P$ possui inversa, $$P^{-1}=I-\left(\frac{a}{ay^Tx-1}\right)xy^T.$$

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *