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Álgebra Linear Aplicada – Exer. 24 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 3 da prova de 2010)

Seja $A$ uma matriz $ntimes n$ não singular e $b\in\mathbb{R}^m$. Use a decomposição em valor singular (SVD) para dar uma representação da solução do sistema linear.

Resolução:

Esse é mais um exemplo de enunciado mal escrito. Primeiramente, esqueceram de mencionar qual é o sistema linear, que vou supor que é $Ax=b$. Mas aí já surge outro problema, se a matriz é $ntimes n$, o vetor $b$ deve ter $n$ coordenadas, e não $m$ como está no enunciado.

  • Se para consertar escolhermos $n=m$, a questão fica meio sem propósito. Como $A$ é não singular, existe $A^{-1}$ e daí $x=A^{-1}b$ é uma representação da solução. Usar SVD aqui é uma questão secundária. Enfim, se $A=U\Sigma V^T$, basta ver que $A^{-1}=V\Sigma^{-1} U^T$ e substituir na solução acima.

  • Mas vamos modificar o enunciado novamente: Suponha que $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ tem posto máximo (agora não faz sentido dizer que é não singular). Este caso é diferente do anterior porque agora não podemos isolar a incógnita do sistema $Ax=b$ antes de usar SVD. Vamos supor que $m>n$, só para fixar as ideias. Então o posto de $A$ é $n$.

    Pela forma reduzida da decomposição em valores singulares (SVD), $A=U\Sigma V^T$, para $U\in\mathbb{R}^{m\times n}$ com colunas ortonormais, $V\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ortogonal e $\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times n}$ matriz diagonal com entradas diagonais $\sigma_1,\cdots,\sigma_n$ positivas.

    Temos que $U^TU=I_n$, $VV^T=I_n$ e a inversa $\Sigma^{-1}$ é a matriz diagonal com entradas diagonais $1/\sigma_1,\cdots,1/\sigma_n$.
    Segue $$Ax=b,$$ $$U\Sigma V^Tx=b,$$ $$\Sigma V^Tx=U^Tb,$$ $$V^Tx=\Sigma^{-1}U^Tb,$$ $$x=V\Sigma^{-1}U^Tb.$$

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