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Álgebra Linear Aplicada – Exer. 23 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 4 da prova de 14/12/2009)

Seja $\left|.\right|$ uma norma tal que $\left|Ax\right|\leq\left|A\right|\left|x\right|$ para todo $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ e $x\in\mathbb{R}^n$. Mostre que:

  1. O raio espectral $\rho(A)\leq (\left|A^k\right|)^{1/k}$.
  2. Se $\lim_{k\rightarrow\infty}A^k=0$, então $\rho(A)<1$.

 

Resolução:

  1. Seja $x$ o autovetor de $A$ associado ao autovalor $\lambda$ tal que $|\lambda|=\rho(A)=\max{|\lambda_i|}$, onde $\lambda_i$ percorre o conjunto de todos os autovalores de $A$.

    Por definição, $\lambda x=Ax$. Por indução, segue que $\lambda^k x=A^kx$, $\forall k\in\mathbb{N}$. Aplicando a norma e usando que $x\neq 0$, $$\left|\lambda^k x\right|=\left|A^kx\right|,$$ $$|\lambda|^k\left|x\right|\leq\left|A^k\right|\left|x\right|,$$ $$|\lambda|^k\leq\left|A^k\right|,$$ $$|\lambda|\leq\left|A^k\right|^{1/k},$$ $$\rho(A)\leq (\left|A^k\right|)^{1/k}, \forall k\in\mathbb{N}.$$

  2. Suponha por absurdo que $\rho(A)\geq 1$. Temos $$1\leq\rho(A)\leq (\left|A^k\right|)^{1/k}\leq \left|A^k\right|, \forall k\in\mathbb{N}.$$ Mas, da hipótese daquele limite ser igual a zero, dado $\epsilon=1$, deveria existir $k_0\in\mathbb{N}$ tal que $$\left|A^k\right|<1, \forall k\geq k_0.$$ Contradição!

    Portanto, $\rho(A)<1$.

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