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Álgebra Linear Aplicada – Exer. 22 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 1 da prova de 20/03/2003 e número 5 da prova de março de 2013)

Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Mostre que se $\left|A\right|_p<1$, então $(I-A)$ é não singular e que $$(I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}, \qquad\text{com}\qquad \left|(I-A)^{-1}\right|_p\leq\frac{1}{1-\left|A\right|_p}.$$

 

Resolução:

Suponha por absurdo que $I-A$ seja singular. Pensando como transformação linear, é o mesmo que dizer que não é injetiva, ou ainda, que o núcleo de $I-A$ é diferente de ${0}$. Ou seja, existe $x\in\mathbb{R}^n$ diferente do vetor nulo tal que $(I-A)x=0$.

Segue que $x=Ax$, logo $\left|x\right|_p=\left|Ax\right|_p\leq\left|A\right|_p\left|x\right|_p$. Portanto $\left|A\right|_p\geq 1$, o que contradiz a hipótese, então $I-A$ é não singular.

Para mostrar a igualdade, primeiro vamos mostrar que aquela série é convergente:
$$\left|\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}\right|_p\leq\sum_{k=0}^{\infty}{\left|A^k\right|_p}\leq\sum_{k=0}^{\infty}{\left|A\right|_p^k},$$
e esta última é convergente porque é uma série geométrica de razão menor que $1$, portanto $\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}$ de fato é convergente, pelo critério da comparação. Segue desta convergência também que $\lim_{k\rightarrow\infty} A^{k+1}=\lim_{k\rightarrow\infty} A^{k}=0\in\mathbb{R}^{n\times n}$.

Agora sim, aplicando limite à igualdade $(I+A+A^2+\cdots+A^k)(I-A)=I-A^{k+1}$, $\forall k\in\mathbb{N}$, segue
$$\left(\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}\right)(I-A)=I,\qquad
\text{ou seja},\qquad
(I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}.$$

Para verificar a desigualdade desejada, basta lembrar do resultado do somatório de série geométrica e
$$\left|(I-A)^{-1}\right|_p=\left|\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}\right|_p\leq\sum_{k=0}^{\infty}{\left|A\right|_p^k}=\frac{1}{1-\left|A\right|_p}.$$

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