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Álgebra Linear Aplicada – Exer. 7 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 2 da segunda prova de 2012)

Para uma matriz $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ dada, existe uma única $B$ chamada de sua inversa generalizada que satisfaz as seguintes quatro condições: $$ABA=A,\qquad BAB=B,\qquad (AB)^T=AB,\qquad (BA)^T=BA.$$ Suponha que $A=U\Sigma V^T$ . Mostre que $B=V\Sigma^\dagger U^T$ é a inversa generalizada de $A$, em que $U$ e $V$ são ortogonais e $$\Sigma=\begin{pmatrix} D & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{m\times n}\qquad \text{e}\qquad \Sigma^\dagger=\begin{pmatrix} D^{-1} & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times m}.$$

Resolução: Observe que o conceito de matriz inversa generalizada é definido a partir de algumas propriedades válidas para matrizes inversas (no sentido tradicional), a fim de simular este conceito para matrizes não quadradas.

Faltou deixar claro o que é aquela matriz $D$ do enunciado. Se falasse que $A$ está decomposta em valores singulares (SVD), tudo bem. Enfim, vamos supor que $D$ é uma matriz quadrada, diagonal e não singular.

Usaremos os seguintes fatos:

  • $U^TU=I_m$
  • $V^TV=I_n$
  • $\Sigma\Sigma^\dagger=(\Sigma\Sigma^\dagger)^T=\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{m\times m}$
  • $\Sigma^\dagger\Sigma=(\Sigma^\dagger\Sigma)^T=\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times n}$
  • $\Sigma\Sigma^\dagger\Sigma=\Sigma$
  • $\Sigma^\dagger\Sigma\Sigma^\dagger=\Sigma^\dagger$

Vamos verificar as quatro propriedades para $B$ ser inversa generalizada de $A$:

  1. $$ABA=U\Sigma V^T(V\Sigma^\dagger U^T)U\Sigma V^T=U\Sigma\Sigma^\dagger\Sigma V^T=U\Sigma V^T=A$$
  2. $$BAB=V\Sigma^\dagger U^T(U\Sigma V^T)V\Sigma^\dagger U^T=V\Sigma^\dagger\Sigma\Sigma^\dagger U^T=V\Sigma^\dagger U^T=B$$
  3. $$(AB)^T=(U\Sigma V^TV\Sigma^\dagger U^T)^T=(U\Sigma\Sigma^\dagger U^T)^T=(U^T)^T(\Sigma\Sigma^\dagger)^TU^T$$ $$=U\Sigma\Sigma^\dagger U^T=U\Sigma V^TV\Sigma^\dagger U^T=AB$$
  4. $$(BA)^T=(V\Sigma^\dagger U^TU\Sigma V^T)^T=(V\Sigma^\dagger\Sigma V^T)^T=(V^T)^T(\Sigma^\dagger\Sigma)^TV^T$$ $$=V\Sigma^\dagger\Sigma V^T=V\Sigma^\dagger U^TU\Sigma V^T=BA$$

Portanto, $B$ é inversa generalizada de $A$.

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