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Álgebra Linear Aplicada – Exer. 13 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 4 da prova de 25/08/2009)

Seja $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$. Sendo $\left|A\right|_2=\sup_{\left|x\right|_2=1}\left|Ax\right|_2$, mostre que $\left|A\right|_2$ é o maior valor singular de $A$.

Resolução:

Vamos escrever a matriz $A$ decomposta em valores singulares (SVD): $A=U\Sigma V^T$. Como $U$ e $V$ são ortogonais, $\left|U\right|_2=\left|V\right|_2=1$ (pois $\left|U\right|_2=\sup_{\left|x\right|_2=1}\left|Ux\right|_2=\sup_{\left|x\right|_2=1}\left|x\right|_2=1$).

$$\left|A\right|_2=\left|U\Sigma V^T\right|_2\leq\left|U\right|_2\left|\Sigma\right|_2 \left|V^T\right|_2=\left|\Sigma\right|_2,$$ $$\left|\Sigma\right|_2=\left|U^TA V\right|_2\leq\left|U^T\right|_2\left|A\right|_2 \left|V\right|_2=\left|A\right|_2.$$ Portanto, $\left|A\right|_2=\left|\Sigma\right|_2$.

Vamos calcular a norma de $\Sigma$:

Vamos chamar de $\sigma_1\geq\cdots\geq\sigma_r>0$ todos os valores singulares de $A$ (aqui, $r\leq m$ e $r\leq n$). Seja $x=(x_1,\cdots,x_m)\in\mathbb{R}^m$ tal que $\left|x\right|_2=1$, então $$\Sigma x= \begin{pmatrix} \sigma_1 x_1\\ \vdots\\ \sigma_r x_r\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}.$$ Como $\sigma_1$ é o maior valor singular, temos a desigualdade: $$\left|\Sigma x\right|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^r{\sigma_i^2x_i^2}}\leq\sigma_1\sqrt{\sum_{i=1}^r{x_i^2}}\leq\sigma_1\left|x\right|_2=\sigma_1.$$ Esse valor é efetivamente atingido para $x=e_1$: $$\Sigma e_1= \begin{pmatrix} \sigma_1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix},\qquad\left|\Sigma e_1\right|_2=\sigma_1.$$

Concluímos que $\left|\Sigma\right|_2=\sigma_1=\left|A\right|_2$, como queríamos demonstrar.

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