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Álgebra Linear Aplicada – Exer. 11 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 2 da prova de 25/08/2009)

Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz de posto $1$. Mostre que existem $u,v\in\mathbb{R}^n$ tais que $A=uv^T$.

 

Resolução:

Por decomposição em valores singulares (SVD), $A$ pode ser escrita da forma

$$A=\begin{pmatrix} & | & & | \\ u_1 & | & \cdots & | & u_n \\ & | & & | \end{pmatrix}_{n\times n} \begin{pmatrix} \sigma \\ &  0 \\ & & \ddots \\  & & & 0 \end{pmatrix}_{n\times n}                                     \begin{pmatrix} & | & & | \\ v_1 & | & \cdots & | & v_n \\ & | & & | \end{pmatrix}_{n\times n}^T.$$

Aplicando a transposta e multiplicando,

$$A=\begin{pmatrix} & | & & | & & | \\ \sigma u_1 & | & 0 & | & \cdots & | & 0 \\ & | & & | & & | & \end{pmatrix} \begin{pmatrix} & & v_1 & & \\ \hline & & \vdots \\ \hline & & v_n & & \end{pmatrix}=\sigma u_1v_1^T.$$ Basta definir $u=\sigma u_1$ e $v=v_1$ para concluir $A=uv^T$.

Esta notícia tem 4 comentários

  1. Oi, Renato!

    Esta figura que colocou do círculo com a elipse é muita coincidência, pois eu estava estudando o assunto.

    Imagine um círculo na origem de raio r=1. Agora pense na reta y=x+w. Dentro de certos limites, para cada w, teremos dois ou um pontos de intersecção do círculo com a reta.

    Seja x=W a abcissa de intersecção. Se colocármos o W em função do w teremos exatamente a elipse de sua figura em comparação com o círculo.

    Abraços

  2. Oi Renato!

    Fiquei muito contente ao descobrir hoje, acidentalmente, que você fez várias atualizações no blog nos últimos dias.

    Ainda não tive tempo de ler com cuidado o material postado, mas exercícios resolvidos são sempre bem vindos, especialmente quando se trata de um assunto tão vasto e importante quanto Álgebra Linear.

    Um abraço,
    Gabriel

  3. Oi Gabriel,

    Valeu mesmo pelo comentário, é bastante animador ter apoio de uma pessoa como você.

    Pois é, percebi que antigamente eu pensava demais para fazer uma postagem, por isso acabei ficando um tempão sem escrever. Recentemente percebi como a internet em português é pobre em conteúdo matemático e pensei: por que não escrever os exercícios que estou fazendo? Não dá muito mais trabalho do que resolver o exercício só pra mim.

    Você está fortemente convidado a encontrar erros nas minhas resoluções, hehehe.

    Valeu.

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