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Álgebra Linear Aplicada – Exer. 10 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 1 da prova de 11/08/2010)

Uma matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ simétrica é definida positiva se $x^TAx>0$ para todo $x\in\mathbb{R}^n$. Mostre que $A$ é definida positiva se e somente se todos os seus autovalores são positivos.

 

Resolução:O enunciado está muito ruim, vou reescrever por completo como eu imagino que deveria ser a questão:

Uma matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é definida positiva se $x^TAx>0$ para todo $x\in\mathbb{R}^n$ diferente do vetor nulo. Suponha que $A$ é simétrica. Mostre que $A$ é definida positiva se, e somente se, todos os seus autovalores são positivos.

($\Rightarrow$) Suponha que $A$ é definida positiva. Se $A$ não tem autovalores, não há o que demonstrar. Caso contrário, seja $\lambda$ um autovalor de $A$ associado ao autovetor $v\neq 0$, ou seja, $Av=\lambda v$. Então $$v^TAv>0 \Rightarrow v^T(\lambda v)>0 \Rightarrow \lambda\left|v\right|^2>0 \Rightarrow \lambda>0.$$ Portanto, todos os autovalores de $A$ são positivos.

($\Leftarrow$) Suponha que todos os autovalores de $A$ são positivos. Como $A$ é simétrica, podemos usar o teorema espectral: existe uma base ortonormal de autovetores de $A$, ou ainda, existe uma matriz ortogonal $P$ tal que $A=PDP^T$ (lembrando que $P^T=P^{-1}$), onde $D$ é diagonal (neste caso com entradas $\lambda_i$ positivas na diagonal). $$x^TAx=x^TPDP^Tx=(P^Tx)^TDP^Tx=y^TDy,$$ onde $y=P^Tx$. Como $P^T$ é não singular, se $x\in\mathbb{R}^n-{0}$ então $y\in\mathbb{R}^n-{0}$. $$x^TAx=y^TDy=\sum_{i=1}^n{y_i\lambda_i y_i}=\sum_{i=1}^n{\lambda_iy_i^2}>0, \forall x\in\mathbb{R}^n-{0},$$ e portanto $A$ é definida positiva.

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