Álgebra Linear Aplicada – Exer. 1 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 2 da prova de 06/04/2009)

Para cada afirmação abaixo, prove-a ou dê um contra-exemplo.

1. Se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então $\overline{\lambda}$ é um autovalor de $\overline{A}$.
2. Se $\lambda$ é um autovalor de $A$ e $\mu\in\mathbb{C}$, então $\lambda-\mu$ é um autovalor de $A-\mu I$.
3. Se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então $-\lambda$ é um autovalor de $A$.
4. Se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então $\lambda$ também é autovalor de $A^T$.

Resolução: Vamos supor que $A$ é uma matriz de $\mathbb{C}^{n\times n}$.

1. Verdadeira.
   Se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então existe um vetor $v\in\mathbb{C}^n$ diferente do vetor nulo tal que $Av=\lambda v$. Segue que $\overline{Av}=\overline{\lambda v}$ e portanto $\overline{A}\overline{v}=\overline{\lambda}\overline{v}$.
   Este último passo é válido pois o lado esquerdo da igualdade, que era um vetor com entradas $\overline{a_{j1}v_1+\cdots+a_{jn}v_n}$, foi trocado pelo vetor com entradas $\overline{a_{j1}}.\overline{v_1}+\cdots+\overline{a_{jn}}.\overline{v_n}$, que são iguais por propriedades de números complexos (e o lado direito é trivial).
   A última igualdade significa que $\overline{\lambda}$ é um autovalor de $\overline{A}$, uma vez que $\overline{v}$ também é diferente do vetor nulo. Repare que sabemos também qual é o autovetor associado.
2. Verdadeira.
   $(A-\mu I)v=Av-\mu v=\lambda v-\mu v=(\lambda-\mu)v$, o que mostra que $\lambda-\mu$ é autovalor de $A-\mu I$ (com o mesmo autovetor).
3. Falsa.
   Considere a matriz $A=[1]\in\mathbb{C}^{1\times 1}$. Os autovalores de $A$ são as raízes do polinômio característico $\det(A-xI)=0$. Neste caso ele é simplesmente $1-x=0$, que tem solução $x=1$ mas não $x=-1$, o que torna a propriedade falsa.
4. Verdadeira.
   $\lambda$ é um autovalor de $A$ se, e somente se, $\det(A-\lambda I)=0$.
   $\det(A^T-\lambda I)=\det(A^T-(\lambda I)^T)=\det(A-\lambda I)^T=\det(A-\lambda I)=0$. Portanto, $\lambda$ é autovalor de $A^T$.