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Álgebra Linear Aplicada – Exer. 1 – Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 2 da prova de 06/04/2009)

Para cada afirmação abaixo, prove-a ou dê um contra-exemplo.

  1. Se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então $\overline{\lambda}$ é um autovalor de $\overline{A}$.
  2. Se $\lambda$ é um autovalor de $A$ e $\mu\in\mathbb{C}$, então $\lambda-\mu$ é um autovalor de $A-\mu I$.
  3. Se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então $-\lambda$ é um autovalor de $A$.
  4. Se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então $\lambda$ também é autovalor de $A^T$.

Resolução: Vamos supor que $A$ é uma matriz de $\mathbb{C}^{n\times n}$.

  1. Verdadeira.
    Se $\lambda$ é um autovalor de $A$, então existe um vetor $v\in\mathbb{C}^n$ diferente do vetor nulo tal que $Av=\lambda v$. Segue que $\overline{Av}=\overline{\lambda v}$ e portanto $\overline{A}\overline{v}=\overline{\lambda}\overline{v}$.
    Este último passo é válido pois o lado esquerdo da igualdade, que era um vetor com entradas $\overline{a_{j1}v_1+\cdots+a_{jn}v_n}$, foi trocado pelo vetor com entradas $\overline{a_{j1}}.\overline{v_1}+\cdots+\overline{a_{jn}}.\overline{v_n}$, que são iguais por propriedades de números complexos (e o lado direito é trivial).
    A última igualdade significa que $\overline{\lambda}$ é um autovalor de $\overline{A}$, uma vez que $\overline{v}$ também é diferente do vetor nulo. Repare que sabemos também qual é o autovetor associado.
  2. Verdadeira.
    $(A-\mu I)v=Av-\mu v=\lambda v-\mu v=(\lambda-\mu)v$, o que mostra que $\lambda-\mu$ é autovalor de $A-\mu I$ (com o mesmo autovetor).
  3. Falsa.
    Considere a matriz $A=[1]\in\mathbb{C}^{1\times 1}$. Os autovalores de $A$ são as raízes do polinômio característico $\det(A-xI)=0$. Neste caso ele é simplesmente $1-x=0$, que tem solução $x=1$ mas não $x=-1$, o que torna a propriedade falsa.
  4. Verdadeira.
    $\lambda$ é um autovalor de $A$ se, e somente se, $\det(A-\lambda I)=0$.
    $\det(A^T-\lambda I)=\det(A^T-(\lambda I)^T)=\det(A-\lambda I)^T=\det(A-\lambda I)=0$. Portanto, $\lambda$ é autovalor de $A^T$.

Esta notícia tem 2 comentários

  1. Olá, Renato!!!!

    O que foi que houve???? Ah!!!! Deixa eu adivinhar!!!! Você estava mais uma vez fazendo aquela experiência de esticar uma linha sobre um meridiano da Terra!!!! Certo???? Aí, aconteceu que em várias ocasiões a linha ficou molhada pelas chuvas e, caramba… como ficou pesada… e… demorou só um pouquinho de nada, não é???? KKKKKKKKK!!!!!!!!

    Grande amigo, tenho que lhe recomendar um cara que tem um blog chamado… Elementos (é filiado na UBM) e, cujo dono é o Aloísio Teixeira!!!! Vocês teem um estilo e focagem de trabalho muito parecidos!!!!

    Também lhe convido-os a conhecer… os Educadores Multiplicadores e MarquecomX, projeto do professor Irivan, para realizar um trabalho de divulgação de blogs, tal qual a UBM faz, só que de forma mais abrangente!!!! Eu já estou lá e o Kleber Kilhian se filiou desde ontem!!!! Faz uma visita lá!!!!

    Feliz retorno, sucessos e… Vamos a trabalhar e descontar esse excesso de férias!!!! KKKKKKK!!!!!!

    Um abraço!!!!!

  2. Oi Francisco Valdir,

    Pelo jeito você nunca vai esquecer aquela experiência, hahahaha.

    Pois é, estive sem tempo para pensar no blog. Na verdade, pensar eu pensei bastante, mas mexer nele que é bom, não conseguia. A única maneira que encontrei para dar vida ao blog foi publicar exatamente o que estou estudando, mesmo que fique meio sem propósito. Afinal, nunca sabemos se vai ajudar alguém, quem sabe ajude.

    Obrigado pelas recomendações, vou dar uma olhada daqui a pouco.

    Férias? Ah não, era uma miragem… hehehehe.

    Abraço.

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