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Sistemas lineares – 1 (ensino fundamental)


Pretendo escrever mais algumas postagens sobre sistemas lineares. Vamos começar com uma abordagem bem elementar, que alunos do ensino fundamental possam ler. Na próxima já pode ser para ensino médio ou além.

Observação: Ao manipular uma equação nesta postagem vou pular vários passos, mas você pode ver em detalhes como se faz essas manipulações em “Alguém aí sabe resolver equações do 1º grau?”.

Esta postagem veio a pedido, na comunidade do orkut, do mesmo aluno que pediu ajuda em equação do primeiro e segundo graus.

 

Veja também Sistemas Lineares 2 – Interpretação Geométrica.

Motivação

Muitas situações levam-nos a montar uma equação linear (equação primeiro grau) a fim de descobrir um valor, a partir de algumas informações. Por exemplo:

“O peso bruto de um produto é $1.000 g$. Sabendo-se que a embalagem corresponde pesa $50 g$, qual é o peso líquido do produto?”

Neste caso podemos escrever a equação $(\text{peso líquido})+(\text{embalagem})=(\text{peso bruto})$, que nos permite encontrar o peso líquido.

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Às vezes uma equação não é suficiente para descobrir um valor. Isso acontece quando tem mais de um valor desconhecido.

Por exemplo, no exemplo acima, se não tivesse a informação do peso bruto, poderíamos escrever a equação (onde $\text{peso líquido}=x$, $\text{peso bruto}=y$):

$$x+50=y.$$

Repare que existe mais de uma solução para esta equação: $x=200$ e $y=250$, $x=300$ e $y=350$, $x=950$ e $y=1000$, e assim por diante (na verdade existem infinitas soluções). Por isso não podemos tirar uma conclusão, é indefinido…

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Para que o problema se torne definido (tenha uma única solução), precisamos de uma informação a mais, como no primeiro exemplo, no qual foi fornecido o valor do peso bruto. Mas a informação pode não ser tão direta, ela pode dar origem a uma nova equação; assim ficaríamos com dois valores desconhecidos (as incógnitas) e duas informações (duas equações). Por exemplo:

“Um terreno de $3000 m^2$ deve ser dividido em dois lotes. O maior deve ter $400 m^2$ a mais que o outro. Qual deve ser a área de cada um?”

Chamando de $x$ e $y$ as áreas dos dois lotes, temos essas duas equações (informações):

$$\begin{cases}x+y=3000\\ x=y+400.\end{cases}$$

Este é um exemplo de sistema linear (com duas incógnitas e duas equações). Resolvê-lo significa encontrar os dois valores, $x$ e $y$, que satisfaçam as duas equações ao mesmo tempo, mas vamos resolvê-lo mais tarde.

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Pode acontecer de ter mais incógnitas e/ou mais equações. Por exemplo:

Na postagem Sistemas Lineares Aplicados aos Circuitos Elétricos do blog FATOS MATEMÁTICOS, o Prof. Paulo Sérgio apresenta um problema que dá origem a um sistema com três incógnitas e três equações:

$$\begin{cases}i_1-i_2-i_3=0\\ 4i_1+i_2=8\\ -i_2+4i_3=16. \end{cases}$$

Na verdade, em problemas práticos reais aparecem milhares de equações e incógnitas (imagine que o circuito elétrico seja o de uma cidade inteira, hehe). É claro que nesses casos os computadores são indispensáveis para resolver (o que não elimina a necessidade de sabermos resolver sistemas).

 

Como resolver sistemas lineares – Método da substituição

Daqui para frente vamos esquecer as contextualizações que fizemos acima, foi só para dar uma ideia do que é um sistema linear. Não vou questionar se existe algum problema prático que leve a cada sistema, vamos simplesmente escrever vários tipos de sistema e analisá-los livres de contexto.

O primeiro exemplo acima deu origem a uma equação, mas a informação do peso bruto poderia ser interpretada como outra equação:

$$\begin{cases}x+50=y\\ y=1000.\end{cases}$$

O fato de não aparecer $x$ na segunda equação não muda o fato disto ser um sistema linear, a única diferença é que já sabemos “de cara” o valor de uma incógnita, portanto basta substitui-lo na primeira equação:

$$x+50=1000\qquad \Longrightarrow\qquad x=950.$$

Agora conhecemos os valores de $x$ e $y$, isto é, resolvemos o sistema!

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$$\begin{cases}x+y=3000\\ x=y+400.\end{cases}$$

Perceba que este caso, apesar de ter as duas incógnitas nas duas equações, pode ser resolvido essencialmente da mesma forma que acima… É como se conhecessemos o valor de $x$ (na segunda equação), a diferença é que este valor está dependendo de $y$, mas isso não impede que façamos o mesmo que antes: substituir este valor na outra equação.

$$x+y=3000\qquad \Longrightarrow\qquad (y+400)+y=3000\qquad \Longrightarrow\qquad y=1300.$$

Conhecendo o valor de $y$, basta usar qualquer equação para encontrar o $x$… Vamos usar a segunda:

$$x=y+400\qquad \Longrightarrow\qquad x=1300+400\qquad \Longrightarrow\qquad x=1700.$$

Solução: $x=1700$ e $y=1300$.

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$$\begin{cases}2.x+3.y=1\\ 3.x+\frac{1}{2}.y=2.\end{cases}$$

Agora a substituição não é tão direta, mas é só deixar mais ou menos como no exemplo anterior:

$$2.x+3.y=1\qquad \Longrightarrow\qquad x=\frac{1-3.y}{2}.$$

Pronto, agora substitua na outra equação:

$$3.x+\frac{1}{2}.y=2\qquad \Longrightarrow\qquad 3.(\frac{1-3.y}{2})+\frac{1}{2}.y=2\qquad \Longrightarrow \qquad 3-9.y+y=4\qquad \Longrightarrow\qquad y=-\frac{1}{8}.$$

Voltando para a equação encontrada acima:

$$x=\frac{1-3.y}{2}\qquad \Longrightarrow\qquad x=\frac{1-3.(-\frac{1}{8})}{2}\qquad \Longrightarrow\qquad x=\frac{11}{16}.$$

Feito, mano!

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Esta postagem ficou grande, talvez seja uma boa ideia dar uma relaxada antes de continuar, pois agora vamos resolver um sistema com três equações e três incógnitas (nunca vi fazerem isso no ensino fundamental, mas não vejo problema algum nisso, vamos ver se vai ser legal):

$$\begin{cases}x+y+z=1\\ x+y-z=2\\ -x+2.y-z=-2.\end{cases}$$

Acho que é um bom momento para observar que não existe uma única maneira de fazer a substituição, você pode escolher sem problemas, faça como bem entender. Tente resolver com uma substituição diferente da minha!

Veja que o termo “$x+y$” aparece nas duas primeiras equações, isso pode ser usado a nosso favor para uma substituição mais simples:

$$x+y+z=1\qquad \Longrightarrow\qquad x+y=1-z.$$

Substituindo o valor de $x+y$ na segunda equação:

$$x+y-z=2\qquad \Longrightarrow\qquad (1-z)-z=2\qquad \Longrightarrow\qquad z=-\frac{1}{2}.$$

Voltando à equação encontrada acima:

$$x+y=1-z\qquad \Longrightarrow\qquad x+y=1-(-\frac{1}{2})\qquad \Longrightarrow\qquad x=\frac{2}{3}-y.$$

Substituindo os valores de $x$ e de $z$ na terceira equação do sistema:

$$-x+2.y-z=-2\qquad \Longrightarrow\qquad -(\frac{3}{2}-y)+2.y-(-\frac{1}{2})=-2\qquad \Longrightarrow\qquad y=-\frac{1}{3}.$$

Voltando à equação acima, com o valor de $y$:

$$x=\frac{2}{3}-y\qquad \Longrightarrow\qquad x=\frac{2}{3}-(-\frac{1}{3})\qquad \Longrightarrow\qquad x=\frac{11}{6}.$$

Feito mano, encontramos os valores de $x$, $y$ e $z$.

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Observação sobre métodos:
Existem vários métodos para resolver sistemas lineares, mas o único que é razoável de fazer sem matrizes é o da substituição. Como matriz é visto apenas no ensino médio, deixo para uma postagem futura.
Alguns livros têm um tal de “método da adição”, que na verdade é uma substituição disfarçada. Às vezes você pode até ganhar alguns segundos com esse método, mas eu prefiro entender melhor a substituição, que é mais geral, e ter controle da situação (no ensino fundamental é mais importante a compreensão da resolução do que o tempo para resolver).

 

Sobre a quantidade de soluções

Todos os exemplos de sistemas lineares que vimos até agora (exceto quando era apenas uma equação com duas incógnitas) tinham apenas uma solução! O método que usamos traça um caminho de equivalências entre equações, de modo que no final fica assim (no caso do último exemplo):

$$\begin{cases}x+y+z=1\\ x+y-z=2-x+2.y-z=-2\end{cases}\qquad \Longleftrightarrow\qquad \begin{cases}x=\frac{11}{6}\\ y=-\frac{1}{3}\\ z=-\frac{1}{2},\end{cases}$$

isto é, as três equações são satisfeitas por esses três números e apenas por eles!

Mas nem sempre é assim!

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Existem sistemas que possuem infinitas soluções, por exemplo:

$$\begin{cases}x+y=1\\ x+y=1.\end{cases}$$

Ser solução deste sistema é equivalente a ser solução da equação $x+y=1$, que tem infinitas soluções. Tente usar o método da substituição para ver o que acontece! hehe

Se alguém não gostou deste exemplo, tem outros:

$$\begin{cases}x+y=1\\ 2.x+2.y=2,\end{cases}\qquad\begin{cases}-x-y=-1\\ 3.x+3.y=3\\ 5.x+5.y=5,\end{cases}$$

$$\begin{cases}x+y+z=1\\ x+y-z=2,\end{cases}\qquad \begin{cases}x+y+z=1\\ x+y-z=2\\ -x-y+z=-2.\end{cases}$$

Você, aluno do ensino fundamental, pode apresentar mais de uma solução para cada sistema?

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Por outro lado, existem também sistemas que não admitem solução alguma, por exemplo:

$$\begin{cases}x+y=1\\ x+y=2.\end{cases}$$

Tente resolver por substituição para ver o que acontece!
Este sistema não tem solução porque a soma de dois números não pode ser, ao mesmo tempo, dois valores diferentes. (Você pode encontrar outros exemplos multiplicando uma das equações por qualquer número diferente de zero.)

Com a interpretação geométrica podemos ter uma visão melhor dessa discussão, mas isso fugiria do objetivo de fazer uma postagem a nível de ensino fundamental.

Por enquanto você pode deleitar-se com um pouco de história sobre o assunto no blog O Baricentro da Mente: Sistemas Lineares e Determinantes: Origens e Desenvolvimento.

 

Sistemas “não lineares”

Não apresentei uma definição de sistema linear, então o mínimo que posso fazer é apresentar alguns exemplos que não são sistemas lineares:

Existem muitas maneiras de “violar a linearidade” de uma equação, mas vou apresentar só uma: sempre que tiver um produto de incógnitas a equação não é linear. Exemplos:

$$\begin{cases}x^2+y^2=1\\ x+y=0,\end{cases}\qquad\begin{cases}x+y=1\\ x.y=2.\end{cases}$$

Estes você pode resolver por substituição também, mas nada garante que para um sistema não linear seja possível resolver com este método. Por exemplo:

$$\begin{cases}x^3+y^2+x.y.z+2.y.z+x=1\\ z^2+x.y-y+x=-1\\ y^2-x.y^3+x.z+y.z+x.y.z=0.\end{cases}$$

É claro que não verifiquei se de fato não é possível resolver “isso” por substituição. Se alguém conseguir vai ganhar uma bela postagem no Blog! hahaha. (Publique aqui)

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