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Alguém aí sabe resolver equações do 2º grau?

O mesmo aluno que pediu, na antiga comunidade do orkut, para ensinar equação de 1º grau, pediu ajuda em equações do 2º grau.

Mas desta vez adotei outra estratégia (como a figura ao lado já sugere). Vou começar com alguns exemplos mais simples a fim de explicar a técnica usada e no final demonstrarei a fórmula no caso geral, que as pessoas costumam chamar de fórmula de Bhaskara.

Aviso: O aluno está entrando este ano no ensino médio, portanto tratarei deste assunto apenas no caso dos números reais, a menos de alguns pequenos comentários no texto. A resolução para números complexos fica para alguma postagem futura.

Casos mais simples

A menos da raiz quadrada, a resolução deste caso é igual a de uma equação do 1º grau:

$$x^2-4=0\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x^2=4\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x=2\qquad \text{ou}\qquad x=-2.$$

Observe que, por causa da regra de sinais, o “menos dois” também é solução!

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Parece que funciona a mesma técnica, mas…

$$x^2+1=0\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x^2=-1\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x=?$$

… não existe número real que elevado ao quadrado resulte um número negativo (consequência da regra de sinais). Este caso entra no assunto de números complexos, que não vou tratar agora. (leia “Por que i²=-1?”)

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Aqui podemos escrever o lado esquerdo como um produto:

$$x^2+2.x=0\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x.(x+2)=0\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x=0\qquad \text{ou}\qquad x=-2.$$

Um produto de números reais ser igual a zero significa que pelo menos um deles é igual a zero.

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Agora já complica um pouco. Vamos tentar simultaneamente as duas técnicas usadas acima:

$$x^2-4.x+3=0\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x.(x-4)=-3.$$

Um produto igual a $–3$? Não ficou legal…
Tente isolar o $x$… O que acontece?
O que podemos fazer?

Descrição da Técnica

Como a dificuldade é o quadrado no $x$, é exatamente aí que temos que mexer. A ideia é tirar o quadrado do $x$ colocando-o numa soma. Olha só o que podemos fazer se conseguirmos isso: (ainda não sabemos o que apareceria no lugar desses ‘triângulos’)

$$(x+\nabla)^2=\Delta\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x+\nabla=\pm\sqrt{\Delta}\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x=-\nabla\pm\sqrt{\Delta}.$$

Oba, assim conseguiríamos isolar o $x$.

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Mas como transformar $x^2$ em $(x+\nabla)^2$?

Parece inevitável o uso do produto notável:

$$(x\pm y)^2=x^2\pm 2.x.y+y^2.$$

No caso da equação que estávamos tentando resolver, aparece o termo $x^2-4.x$, o que nos obriga a colocar um $2$ no lugar do $y$ acima, resultando

$$(x-2)^2=x^2-4.x+4.$$

Pois é, sobrou um $4$ ali no final, e agora?

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O truque é exatamente este: coloque o quatro ali, na “cara de pau” mesmo! Veja:

$$x^2-4.x+3=0\qquad \Longleftrightarrow$$
[some zero (?!)]
$$x^2-4.x+0+3=0\qquad \Longleftrightarrow$$
[escreva zero de maneira conveniente, ou seja, faça aparecer o quatro!]
$$x^2-4.x+(4-4)+3=0\qquad \Longleftrightarrow$$
$$(x^2-4.x+4)-4+3=0\qquad \Longleftrightarrow$$
[aplique o produto notável]
$$(x-2)^2-4+3=0\qquad \Longleftrightarrow$$
$$(x-2)^2=1\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x-2=\pm 1\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x=2\pm 1\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x=3\qquad \text{ou}\qquad x=1.$$

Feito, mano!

Caso geral – Fórmula de Bhaskara

Será possível fazer a técnica descrita acima para qualquer equação do segundo grau? O objetivo agora é responder esta pergunta.

Com $a$, $b$ e $c$ números reais, vejamos como resolver a seguinte equação:

$$a.x^2+b.x+c=0,\qquad a\neq 0\qquad \Longleftrightarrow$$
[divida por $a$]
$$\frac{1}{a}.(a.x^2+b.x+c)=\frac{1}{a}.0\qquad \Longleftrightarrow$$
[distribua]
$$x^2+\frac{b}{a}.x+\frac{c}{a}=0\qquad \Longleftrightarrow$$
[some zero]
$$x^2+\frac{b}{a}.x+0+\frac{c}{a}=0\qquad \Longleftrightarrow$$
[escreva o zero de maneira conveniente (veja a próxima seção abaixo)]
$$x^2+\frac{b}{a}.x+\left(\frac{b}{2.a}\right)^2-\left(\frac{b}{2.a}\right)^2+\frac{c}{a}=0\qquad \Longleftrightarrow$$
[use o produto notável: $x^2+\frac{b}{a}.x+(\frac{b}{2.a})^2=(x+\frac{b}{2.a})^2$]
$$\left(x+\frac{b}{2.a}\right)^2-\left(\frac{b}{2.a}\right)^2+\frac{c}{a}=0\qquad \Longleftrightarrow$$
[mande pro outro lado da igualdade (como assim? Leia aqui)]
$$\left(x+\frac{b}{2.a}\right)^2=\left(\frac{b}{2.a}\right)^2-\frac{c}{a}\qquad \Longleftrightarrow$$
[use propriedades da potência]
$$\left(x+\frac{b}{2.a}\right)^2=\frac{b^2}{4.a^2}-\frac{c}{a}\qquad \Longleftrightarrow$$
[junte as duas frações em uma só]
$$\left(x+\frac{b}{2.a}\right)^2=\frac{b^2-4.a.c}{4.a^2}\qquad \Longleftarrow$$
[supondo que o lado direito é maior que ou igual a zero, extraia a raiz]
$$x+\frac{b}{2.a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4.a.c}{4.a^2}}\qquad \Longleftrightarrow$$
[extraia a raiz no denominador e isole o $x$ do lado esquerdo]
$$x=-\frac{b}{2.a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\qquad \Longleftrightarrow$$
[junte as frações]
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\qquad \Longleftrightarrow$$
$$x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\qquad \text{ou}\qquad x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}.$$

Esta é a famosa fórmula de Bhaskara!

Observe que houve um passo que coloquei a seta em apenas um sentido. Esta passagem é a porta de entrada dos números complexos nesse assunto. Como eu não quis tratar de números complexos, fiz uma nova suposição no meio da conta:

$$\frac{b^2-4.a.c}{4.a^2}\geq 0,$$ ou, o que dá no mesmo, $$b^2-4.a.c\geq 0,$$

o que permite extrair a raiz quadrada.

 

Como saber a maneira conveniente de escrever o zero?

Quando eu vi esse assunto na oitava série, preferia pensar algebricamente para responder esta pergunta, mas no livro tinha uma interpretação geométrica, então vou fazer as duas coisas:

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  • Algebricamente:
A situação é assim: estávamos com o termo
$$x^2+\frac{b}{a}.x$$
e queríamos escrevê-lo da forma
$$(x+\nabla)^2.$$
Olhe para o produto notável:
$$(x+y)^2=x^2+2.x.y+y^2.$$
O que está multiplicando $x$ é $2.y$, enquanto que no termo acima o que multiplica $x$ é $\frac{b}{a}$. Portanto $2.y=\frac{b}{a}$, ou ainda $y=\frac{b}{2.a}$. Substituindo no lugar do $y$:
$$\left(x+\frac{b}{2.a}\right)^2=x^2+\frac{b}{a}.x+\left(\frac{b}{2.a}\right)^2.$$
Ou seja, a maneira conveniente de escrever o zero deve ser, como já usamos na seção anterior,
$$\left(\frac{b}{2.a}\right)^2-\left(\frac{b}{2.a}\right)^2.$$
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  • Geometricamente:
Interprete cada produto como uma área!
Resulta que o termo $\left(\frac{b}{2.a}\right)^2$ é a área do quadrado ‘pequeno’ que foi somado para colocar a expressão original na forma $\left(x+\frac{b}{2.a}\right)^2$, que é a área do maior quadrado da figura:

Não gosto muito desta interpretação geométrica, pois ela não oferece um processo para descobrir o que somar para dar certo. Com a figura pronta ficou bonito, mas como descobrir o tamanho do lado do quadrado pequeno senão algebricamente?

Coloquei esta interpretação geométrica porque já vi isso em vários livros didáticos, e por isso achei importante apontar a deficiência deste método.

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Com o conteúdo visto no primeiro ano do ensino médio, funções e gráficos, é possível ter uma compreensão mais completa deste assunto. Mas por enquanto acredito que esteja de bom tamanho.

 

O que você achou das explicações? Tem alguma dúvida ou sugestão? Comente!

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