História da Geometria (3 de 5)

Esta é a terceira parte da série História da Geometria, sobre as Críticas ao Quinto Postulado de Euclides.

• Para conhecer o quinto postulado de Euclides, ver parte 2.

• Se você não sabe de qual projeto essa série faz parte, veja: Motivando as Geometrias não Euclidianas.

Críticas ao Quinto Postulado

Como os postulados devem ser assumidos como verdadeiros, para garantir a validade das proposições deduzidas logicamente, esperava-se que eles fossem obviamente verdadeiros, tão claramente verdadeiros quanto possível, para ter segurança das proposições deduzidas a partir deles. No entanto, o quinto postulado não possui essa característica de auto-evidência dos quatro anteriores, assemelhando-se mais a uma proposição. Além disso, Euclides só começou a usar o quinto postulado a partir da sua proposição de número 27. Esses fatos começaram a levantar suspeitas de que o quinto postulado seria apenas uma proposição demonstrável a partir dos outros quatro postulados.

Por conta disso, muitos pesquisadores tentaram demonstrar o quinto postulado a partir dos quatro primeiros. Entre eles, destacamos os mais importantes: Ptolomeu (323 – 285 a.C.), Proclus (410-485), Nasiradin (1201-1274), John Wallis (1616-1703), Gerolamo Saccheri (1667-1733), John H. Lambert (1728-1777), Louis Bertrand (1731-1812), Adrien M. Legendre (1752-1833). Estes são nomes que deixaram nas suas obras referências relevantes sobre o assunto, dentre muitos outros que também fizeram tal tentativa.

Exemplo: Como ilustração dessas tentativas de provar o quinto postulado, vamos dar uma ideia de como o italiano Saccheri procedeu:
Considere um quadrilátero ABCD, em que os lados AD e BC são congruentes entre si e perpendiculares ao lado AB. Usando apenas os quatro primeiros postulados, Saccheri provou que os ângulos em C e D são congruentes.
A validade do quinto postulado é equivalente a assumir que estes ângulos são retos, ou seja, se ele provasse que de fato os ângulos são retos, então ele demonstraria o quinto postulado. Mas há três hipóteses sobre esses ângulos: são 1. retos, 2. obtusos, 3. agudos.

A idéia de Saccheri era começar a trabalhar com as hipóteses 2 e 3. Se, com isso, ele encontrasse algum tipo de contradição, demonstraria que só é possível que ocorra a hipótese 1. Entretanto, ele não conseguiu encontrar qualquer contradição, pelo contrário, conseguiu demonstrar uma série de novas proposições. Ele foi, sem dúvida, o primeiro a ter um vislumbre das geometrias possíveis, mesmo sem saber disto.

O que Saccheri não sabia é que ele havia dado um enorme passo em direção às novas geometrias. Por exemplo, ele demonstrou que se existe um triângulo para o qual a soma dos ângulos internos é igual a 180 graus, então vale a hipótese 1. Se for maior do que 180 graus, então vale a hipótese 2. E se for menor do que 180 graus, então vale a hipótese 3.

Dizemos que uma superfície não tem curvatura quando vale a hipótese 1, tem curvatura positiva quando vale a hipótese 2 e que tem curvatura negativa quando vale a hipótese 3.

Observação: Temos então um critério para agrupar superfícies de acordo com as propriedades que seus objetos têm. Vamos separá-las em três categorias:

• Superfícies sem curvatura: soma dos ângulos internos de um triângulo igual a 180 graus e áreas das figuras calculadas à maneira de Euclides.
• Superfícies com curvatura positiva: soma dos ângulos internos de um triângulo maior que 180 graus e áreas das figuras menores do que se estivessem em superfície sem curvatura.
• Superfícies com curvatura negativa: soma dos ângulos internos de um triângulo menor que 180 graus e áreas das figuras maiores do que se estivessem em superfície sem curvatura.

Isto mostra que tais propriedades não são intrínsecas aos objetos geométricos, mas que dependem do ambiente ou do endereço no qual se encontram.

Continua: História da Geometria (4 de 5), com as Descobertas das Novas Geometrias.