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História da Geometria (2 de 5)

Esta é a segunda parte da série História da Geometria, seguindo o pensamento grego com Euclides.

Euclides

Foi aproximadamente 300 anos antes de Cristo que o grego Euclides escreveu sua obra clássica, Os Elementos, em que reuniu e apresentou de modo sistemático as principais descobertas geométricas de seus precursores e muitas outras. Esta obra ficou marcada não apenas como o livro texto de Geometria, mas também o modelo que o pensamento científico devia ser, ficando evidente a utilização do mesmo método em obras como Ótica, de Newton, e Ética, de Spinoza.

Quais são as características das técnicas adotadas por Euclides? Em primeiro lugar, ele sempre enuncia as suas leis de forma universal, ou seja, não examina as propriedades de uma determinada linha ou figura realmente existente; examina, ao contrário, as propriedades que todas as linhas ou figuras de tal ou qual espécie devem ter, e nunca como simples aproximações. Por exemplo, ele diz que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre igual a dois ângulos retos; não diz tratar-se de um resultado aproximado ou usualmente verdadeiro. O que é mais importante, ele não se limita a enunciar um grande número de leis geométricas, ele demonstra-as. O que, porém, entendemos aqui por demonstrar? Euclides não nos pede para efetuarmos medidas de ângulos de triângulos reais a fim de veriticar que a soma é igual a dois ângulos retos, ou seja, não se preocupa com experimentos ou observações desse gênero. Em vez disso ele apresenta-nos demonstrações de caráter dedutivo, por meio das quais procura estabelecer as suas conclusões com o rigor da absoluta necessidade lógica.

Exemplo: Para entender o que queremos dizer com demonstração de caráter dedutivo e com rigor da necessidade lógica, vamos observar o seguinte: Admita, para todos os efeitos, que as duas afirmações são verdadeiras:

  1. Qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem à ela;

  2. Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém.

Sejam, agora, m e n duas retas distintas. Pode haver ou não interseção entre elas. Se houver, então a interseção destas duas retas não pode conter dois (ou mais) pontos, do contrário, pela afirmação 2, elas coincidiriam. Disto podemos concluir uma terceira afirmação:

3. Duas retas distintas se intersectam em um único ponto ou não se intersectam.

Neste caso, chamamos as afirmações 1 e 2 de premissas e a afirmação 3 de conclusão, ou proposição, ou teorema.

Com este exemplo podemos explicar melhor o que entendemos por demonstração: cadeia de raciocínios que nos permite asseverar uma conclusão mostrando que ela decorre logicamente de certas premissas sabidamente verdadeiras.

A maneira que Euclides utilizou para organizar as propriedades geométricas foi a seguinte: criou cinco Postulados geométricos. Esses Postulados nada mais são que as premissas assumidamente verdadeiras a que Euclides baseou suas demonstrações, além de alguns princípios lógicos. Os postulados são os seguintes:

  1. Pode-se traçar uma (única) reta ligando quaisquer dois pontos.

  2. Pode-se continuar (de uma única maneira) qualquer reta nita continuamente em uma reta.

  3. Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio.

  4. Todos os ângulos retos são iguais.

  5. É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas, se continuadas, encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.

Há algumas alterações, as inclusões dos parênteses, para que fique da forma pela qual Euclides realmente utilizou os postulados nas demonstrações dos teoremas. Para facilitar, veja a seguinte ilustração do quinto postulado:

Continua: História da Geometria (3 de 5), com as Críticas ao Quinto Postulado de Eulcides.

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