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Motivando as Geometrias não Euclidianas (5 de 5)

Esta é a quinta parte da série Motivando as Geometrias não Euclidianas, trabalhando o conceito de área na esfera.

  • Se você ainda não sabe de qual projeto essa série faz parte, veja a parte 1.
  • Já falamos sobre triângulos na esfera na parte 4.

Área

Motivados pelas novas propriedades encontradas (ângulos internos de triângulos, por exemplo), vejamos como a área das figuras se comportam. Pegue triângulos recortados em folhas de papel. Encaixe-os no cilindro, no cone e na esfera. O que podemos observar?

Repare que a superfície do cilindro pode ser rolada sobre o plano entrando totalmente em contato. O mesmo acontece com o cone. Porém, no caso da esfera, os pontos de contato não são mais as faces inteiras, mas sim apenas uma linha. Dessa maneira, podemos imginar que os triângulos do plano se ajustam perfeitamente no cilindro e no cone (faça o experimento!). E quanto à esfera? Já vimos que a soma dos ângulos internos do triângulo da esfera deve ser maior que 180 graus, diferentemente da situação do plano. Com isso, como poderia um triângulo plano se encaixar na esfera? Não custa experimentar! Tente ajustar um triângulo plano na esfera.

Pois é, não fica bom! Parece que há uma diferença entre as áreas das figuras da esfera e do plano.

Vamos ver algebricamente se de fato as áreas diferem. Para facilitar a visualização, considere um círculo plano de raio igual a $\frac{1}{4}$ do comprimento de uma circunferência máxima da esfera (situação da figura abaixo).

Sendo $R$ o raio da esfera, sabemos que o comprimento da circunferência máxima é

$$C=2\pi R$$

e a área total da superfície da esfera,

$$A=4\pi R^2.$$

Assim, como o círculo SOBRE a esfera ocupa metade de sua área total, a área $S$ deste círculo será

$$S=\frac{A}{2}=2\pi R^2.$$

Agora, o círculo de raio $L$ sobre o plano:

$$L=\frac{C}{4}=\frac{2\pi.R}{4}=\frac{\pi.R}{2}.$$

Consequentemente, a área $T$ deste círculo é dada por

$$T=\pi L^2=\frac{\pi^3R^2}{4}.$$

Comparando:

$$S=2\pi R^2\approx 6,28R^2,$$

$$T=\frac{pi^3R^2}{4}\approx 7,75R^2,$$

vemos que

$$S<T.$$

Encontramos, assim, mais uma diferença entre as propriedades dos objetos que estão situados em superfícies diferentes.

Na série História da Geometria, continuação desta, veremos como podemos usar essas diferentes propriedades para classificar as diversas superfícies de acordo com a natureza das figuras contidas nelas.

Continua: História da Geometria (1 de 5), início da segunda metade da aula.

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