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Motivando as Geometrias não Euclidianas (4 de 5)

Esta é a quarta parte da série Motivando as Geometrias não Euclidianas, trabalhando o conceito de triângulo na esfera.

  • Se você ainda não sabe de qual projeto essa série faz parte, veja a parte 1.
  • Já falamos de retas na esfera na parte 2.
  • E de retas sobre outras superfícies na parte 3.

Triângulos

O nosso conceito de triângulo é: figura fechada constituída de três segmentos de reta consecutivos. Acabamos de ver como são os segmentos de reta sobre outras superfícies (parte 2 e parte 3), portanto podemos construir triângulos sobre elas. Façamos um na esfera de isopor: fixe três palitos na bola de isopor e estique um elástico que os envolva.

Podemos investigar as propriedades dos triângulos encontrados. Para facilitar, coloque um dos palitos no pólo norte e os outros dois na linha do equador, de modo a formar um triângulo que abrange um oitavo da esfera, como mostra a figura ao lado.

Os ângulos internos do triângulo… são todos ângulos retos?! Ué, a soma deles é 270 graus? Não deveria ser 180 graus?

Este experimento mostra que as propriedades dos triângulos da esfera não são as mesmas dos triângulos do plano. Vejamos qual pode ser a variação da soma dos ângulos internos desses triângulos:

Imagine um triângulo extremamente pequeno na esfera (por exemplo, um triângulo que abrange o bairro de uma cidade, comparada ao tamanho do Planeta Terra, como na figura a seguir). Podemos considerar que nesta situação limite o triângulo é aproximadamente plano, ou seja, a soma dos seus ângulos internos tem praticamente 180 graus. Por outro lado, se considerarmos um triângulo grande, já vimos que a soma supera facilmente os 230 graus ilustrados na figura abaixo.

Agora, afaste progressivamente os vértices deste triângulo, como a figura abaixo indica, aproximando-os de uma circunferência máxima. À medida que fazemos essa aproximação, a soma dos ângulos internos do triângulo se aproxima de 540 graus, pois seria a soma de três ângulos rasos. Conclusão: as somas dos ângulos internos dos triângulos em uma esfera variam entre 180 e 540 graus.

Observação: Suponha que, ao afastarmos os vértices do triângulo, passemos pela circunferência máxima e continuemos deslocando-os. Assim, se nos fosse conveniente, poderíamos considerar os maiores ângulos que aparecem no triângulo (como indica a figura ao lado). Como o novo triângulo se aproxima novamente daquele do plano, a soma dos ângulos que estaríamos considerando seria (3 x 360 − 180) graus, ou seja, 900 graus. Portanto, se pensarmos dessa forma, a soma dos ângulos internos dos triângulos esféricos variam entre 180 e 900.

Continua: Motivando as Geometrias não Euclidianas (5 de 5)

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