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Motivando as Geometrias não Euclidianas (2 de 5)

Esta é a segunda parte da série Motivando as Geometrias não Euclidianas, trabalhando com o conceito de reta sobre a esfera (ver motivação na parte 1).

  • Veja sobre retas em outras superfícies na parte 3.
  • Se você ainda não sabe de qual projeto essa série faz parte, veja a parte 1.

Retas

Vejamos o que acontece com a Terra. Observe o mapa-múndi:

Pergunta: Qual o caminho mais curto entre Curitiba e a cidade de Pretória, capital da África do Sul?

  

[Observe como o Maikel é persuasivo explicando sobre retas na foto abaixo]

Retas na Esfera

Vamos fazer alguns experimentos para ver qual é a resposta certa:

Pegue uma esfera de isopor. Esta esfera representará para nós o Planeta Terra (sabemos que a Terra não é exatamente esférica, mas vamos supor que seja). Primeiramente vamos fazer alguns paralelos, um deles será a linha do Equador.
Observe que os paralelos são circunferências sobre a nossa esfera, ou seja, um paralelo é um conjunto de pontos eqüidistantes de um ponto fixo chamado centro.

Pergunta: Qual é o centro de cada uma dessas circunferências?

Agora que temos o Planeta Terra com os paralelos já marcados, sinalize com palitos de dente as cidades de Curitiba e Pretória. Depois, pegue um elástico e estique-o de um palito até o outro. Observe onde o elástico ficou posicionado. O que podemos concluir desse fato?

Note que, se esticarmos um elástico entre dois pontos sobre o plano, ele nos dá a menor distância entre esses pontos: um segmento de reta. Ao fazermos isso na esfera, também encontramos a menor distância entre os dois pontos, pois o elástico vai sempre parar na posição em que ele possa fi car menos esticado, ou seja, no menor caminho. Sendo assim, com nosso experimento, o que achamos foi um segmento de reta sobre a esfera.

Observação: A interseção de uma esfera e um plano produz uma circunferência. Naqueles casos onde a superfície plana também inclui o centro da esfera, chmamos a circunferência resultante de circunferência máxima. Usamos a expressão máxima porque o tamanho da circunferência resultante é o maior que pode ser produzido por qualquer interseção do plano com a esfera de interesse. O raio da circunferência, neste caso, é o mesmo que o raio da esfera.

                     

Considere, agora, um segmento de reta sobre uma esfera. Prolongue-o inde nidamente. O que acontece é que a reta fecha-se sobre si mesma, ou seja, ela vira uma circunferência sobre a esfera, como aconteceu com Renato em suas investigações. Mas a reta não é qualquer circunferência! Se, quando o elástico estava preso à esfera formando um segmento de reta, ele indicava a menor distância entre os pontos, então cada partícula do elástico exerce uma força que aponta exatamente na direção do centro da esfera. Se o elástico estiver esticado ao longo da esfera inteira, ele nos dá uma circunferência máxima, que também exerce uma força que aponta na direção do centro da esfera, do contrário o elástico não permaneceria fixo.

Concluímos, então, que as circunferências máximas são as retas sobre a esfera, mas as circunferências menores não são retas.

[Para explicar esse trecho eu fiz papel de um físico maluco, que era professor há 57 anos (veja como a experiência é importante para se desenhar uma circunferência perfeita na foto, hehe)]

[O pior é que uma aluna filmou parte da encenação, assista abaixo.]

Descobrimos que o mundo tão estranho de Renato é na verdade o Planeta Terra.
Pergunta: Será que sobre a esfera existem retas paralelas? E retas perpendiculares?

Continua: Motivando as Geometrias não Euclidianas (3 de 5)

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