Álgebra Linear Aplicada – Exer. 16 – Qualificação
Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 3 da prova de 25/08/2009)
Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz simétrica definida positiva. Suponha que uma sequência $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ é tal que $x_k^TAx_k\rightarrow 0$. Mostre que $x_k\rightarrow 0$. Este resultado continua válido se a matriz $A$ for apenas semi-definida positiva?
Resolução:
Vamos começar mostrando que, se $A$ é simétrica definida positiva, existe uma matriz não singular $B$ tal que $A=B^TB$. Imagino que não seja necessário demonstrar este fato no caso desta questão cair numa prova, mas aqui vamos aproveitar o tempo livre para justificar:
Pelo teorema espectral, existe $P$ ortogonal e $D$ diagonal tais que $A=PDP^T$. Como $A$ é definida positiva, as entradas da diagonal de $D$ são positivas, e portanto existe a matriz $\sqrt{D}$ (também diagonal) tal que $D=\sqrt{D}\sqrt{D}$. Segue que $$A=P\sqrt{D}\sqrt{D}P^T=(\sqrt{D}P^T)^T(\sqrt{D}P^T)=B^TB,$$ onde $B=\sqrt{D}P^T$ é evidentemente não singular.
Agora sim vamos ao que o exercício pede (caso $A$ simétrica definida positiva):
A igualdade $$x_k^TAx_k=x_k^TB^TBx_k=(Bx_k)^TBx_k=\left|Bx_k\right|^2$$ mostra que $x_k^TAx_k\rightarrow 0$ é equivalente a $\left|Bx_k\right|\rightarrow 0$, ou ainda, $Bx_k\rightarrow 0$.
Sabemos que se aplicarmos uma função contínua $f$ nesta sequência convergente, temos $f(Bx_k)\rightarrow f(0)$. Se escolhermos a função “multiplicar por $B^{-1}$”, temos o resultado: $$B^{-1}Bx_k\rightarrow B^{-1}0, \ \text{ou ainda}\ , x_k\rightarrow 0.$$
No caso em que $A$ é apenas semi-definida positiva o resultado não é válido. Por exemplo, a matriz nula é semi-definida positiva (pois $x^TAx\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}^n$) e satisfaz a hipótese $x_k^TAx_k\rightarrow 0$ para qualquer sequência, mas nem toda sequência cumpre $x_k\rightarrow 0$.