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Discutindo Curiosidades Matemáticas 1

Comprei o “Almanaque das Curiosidades Matemáticas”, de Ian Stewart, e tive a ideia de discutir com vocês algumas das curiosidades do livro (e quem sabe algumas que não estejam neste livro).

A primeira que proponho discutir é a “Cálculos Curiosos”, da página 13.

(Esta postagem continua em Discutindo Curiosidades Matemáticas 2, onde está a resolução do que foi proposto aqui.)

 

O que Stewart propôs

Foram duas coisas, mas quero discutir principalmente a segunda:

“Digite (na calculadora) o número $142.857$ e o multiplique por $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$. O que você percebe?”

A resposta de Stewart

No final do livro tem as soluções e explicações. Mas olha só o que ele escreveu nessa:

$$142857\times 2=285.714.$$
$$142857\times 3=428.571.$$
$$142857\times 4=571.428.$$
$$142857\times 5=714.285.$$
$$142857\times 6=857.142.$$
$$142857\times 7=999.999.$$

“Quando multiplicamos $142.857$ por $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$, obtemos a mesma sequência de algarismos em ordem cíclica, mas começando em um ponto diferente. O $999.999$ é um bônus. Esse fato curioso não é um mero acidente. Basicamente, ele ocorre porque $\frac{1}{7}$, em decimais, é $0,142857142857…$, repetindo-se para sempre.”

 

Discussão

Fiquei tentando entender qual é a relação entre $\frac{1}{7}$ e a multiplicação, da parte que se repete, por $2$ até $6$. Fiz a divisão $\frac{1}{7}$ pelo algoritmo da divisão e até encontrei alguns padrões, mas não consegui entender o que tem a ver com os produtos…

Percebi que o mesmo padrão aparece se multiplicarmos por $\frac{1}{7}$, a dízima periódica só começa noutro algarismo:

$$\frac{1}{7}\times 2=0,285714\dots$$
$$1/7\times 3=0,428571\dots$$
$$1/7\times 4=0,571428\dots$$
$$1/7\times 5=0,714285\dots$$
$$1/7\times 6=0,857142\dots$$
$$1/7\times 7=0,999999\dots =1.$$

Mas e daí… por que multiplicando por $2$ até $6$ os algarismos não mudam ou não trocam de ordem? Não consigo ver qualquer “motivo maior” pra isso… Estou começando a achar que é mera coincidência… Alguém aí tem uma explicação?

 

No caso da primeira coisa que o Stewart propôs, fica mais fácil entender porque acontece, é o seguinte: Veja o seguinte padrão:

$$11\times 11=121.$$
$$111\times 111=12.321.$$
$$1.111\times 1.111=1.234.321.$$
$$11.111\times 11.111=123.454.321.$$

Por que isso acontece? Ele mesmo explica, mas é só fazer os produtos pelo algoritmo da multiplicação (do jeito que aprendemos com a tia Perivalda) que já dá pra perceber o que acontece. Não é um motivo essencial, epistemológico, ontológico, metafísico, divino… mas uma coisa algébrica que você vê e fica feliz.

 

Mas nos produtos ali de cima eu não entendi, não fiquei feliz, quero um motivo algébrico satisfatório. Ou eu que sou burro demais pra enxergar o motivo…

 

Problema resolvido em Discutindo Curiosidades Matemáticas 2.

Esta notícia tem 9 comentários

  1. Olá Renato,

    Já conversamos sobre isso, mas lendo agora a explicação do autor na íntegra:

    “… O 999.999 é um bônus. Esse fato curioso não é um mero acidente. Basicamente, ele ocorre porque 1/7, em decimais, é 0,142857142857…, repetindo-se para sempre.”

    parece que ele está explicando somente o fato de
    142.857 x 7 = 999.999. Isso de fato, como a tia Perivalda nos ensinou, vem da representação em decimais:

    frac{1}{7} = 0,142857… = frac{142.857}{999.999}

    Mas sobre as outras multiplicações, também acho que é coincidência, e parece que ele não explica mesmo. Até o nome da seção do livro sugere isso: "Cálculos curiosos". Bem, isso é o que eu acho. Alguém aí pensa diferente?

    Falow.

  2. Janaina,

    Eu não tinha pensado nisso, talvez seja isso. Mas nesse caso fica pior ainda: chamar de "fato curioso" a multiplicação por 7 dar 999.999? Parece mais faco que chamar de "fato curioso" todas as contas em conjunto… Além disso, fica mais chato se não tiver explicação… Não sei se eu acredito em "mero acaso", faço de tudo para evitá-lo, eu preciso de um motivo pra isso! hahaha

  3. Vou pegar o 2 x 142857 = 285714 como exemplo, mas para o resto é igual. Um fato que tem que ser conhecido é que 142857 x 7 = 999999.
    1/7 x 2 = 0,285714…
    1/7 x 2 x 10^6 = 285714,285714…
    1/7 x 2 x 10^6 – 1/7 x 2 = 285714
    1/7 x 2 x (10^6 – 1) = 285714
    1/7 x 2 x 999999 = 285714
    1/7 x 2 x 142857 x 7 = 285714
    2 x 142857 = 285714.

    Prontinho, todo os outros são análogos à este.

  4. Contribuição do professor Sebastião Vieira do Nascimento – Prof. Sebá:

    "
    Seja um número com três algarismos 1: $111^2 = 12321$
    Seja um número com quatro algarismos 1: $1111^2 = 1234321$

    Já descobriu o segredo? Não? Então, vou revelá-lo!

    Se o número tiver três algarismos 1, como no primeiro exemplo, você escreve 123. O algarismo 3
    indica quantos algarismos 1 tem o número elevado ao quadrado. Depois do 3, escreva os algarismos antes
    do 3 na ordem inversa.

    Se o número tiver quatro algarismos 1, como no segundo exemplo, você escreve 1234. O algarismo 4
    indica quantos algarismos 1 tem o número elevado ao quadrado. Depois do 4, escreva os algarismos antes
    do 4 na ordem inversa.

    Seja um número com cinco algarismos 1: $11111^2$

    Como o número tem cinco algarismo 1, escreve-se 12345. O 5 está indicando que o número ao
    quadrado tem 5 algarismos. Os algarismos que estão antes do 5, escreve-se na ordem inversa, 4321, e
    coloca após o 5.

    $11111^2 = 123454321$. Não é fácil?

    Seja um número com 9 algarismos 1: $111111111^2 = 12345678987654321$

    Um número com mais de nove algarismos 1, o padrão falha. Se não, vejamos.

    $1111111111^2 = 1234567900987654321$
    "

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