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Desafio: Comprimento de curvas de mesmo traço

Primeiro desafio do Experiências na Matemática! A ideia de fazer desafios veio da minha incapacidade de resolver problemas sozinho. Ou seja, todos os desafios que eu propor aqui serão problemas que eu me deparei, não consegui resolver e que pelo menos não seja muito fácil de encontrar em livros (não farei isso para pedir ajuda, nunca farei um desafio que eu precise resolver por algum motivo particular, será sempre por interesse genuíno e sem segundas intenções).

Quem resolver, naturalmente pode divulgar da maneira que desejar (ou não divulgar, o que seria uma pena), mas o ideal seria me enviar o texto para que eu publique no Experiências na Matemática, assinado pelo autor, de acordo com as regras do link “Publique aqui”.

 

Desafio: Responder a pergunta:

Se duas curvas têm o mesmo traço, então elas têm o mesmo comprimento?

 

Errata: Porém, com uma condição adicional: não quero considerar curvas que “repetem uma trajetória”. Por exemplo, as curvas $\alpha,\beta: [0,1]\longrightarrow\mathbb{R}^{2}$ definidas por
$$\alpha(t)=(cos\ 2\pi t,sen\ 2\pi t),$$
$$\beta(t)=(cos\ 4\pi t,sen\ 4\pi t)$$
têm o mesmo traço e comprimentos diferentes, mas a segunda função “dá duas voltas” na trajetória da primeira (este exmplo foi proposto por um amigo para responder a pergunta quando eu ainda não tinha colocado esta condição adicional, obrigado por mostrar o meu erro). Essa situação é evitada pela condição adicional abaixo, no próximo subtítulo.

 

Para que a pergunta fique bem entendida:

  • Uma curva é uma função, vou supor diferenciável (a não ser num conjunto de medida nula, onde ela seria apenas contínua), $\alpha: I\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ definida num intervalo real.
  • O traço de uma curva é o conjunto $${\alpha(t)\in\mathbb{R}^{n}; t\in I}.$$
  • O comprimento de uma curva é dado por $$\int_{I}||\alpha'(t)||dt.$$

Condições adicionais: Vamos considerar apenas curvas com comprimento finito e que sejam injetivas (na verdade podemos considerar que o conjunto dos pontos em que a curva se auto-intersecta [isto é, pontos do traço que têm mais de uma pré-imagem] tem medida nula).

Atenção: Dadas duas curvas de mesmo traço, $\alpha: I\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ e $\beta: J\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$, suponha que existe uma função inversível $h: J\longrightarrow I$ tal que $\beta=\alpha\circ h$. Se esta função $h$ tiver propriedades suficientes para aplicarmos o teorema de mudança de variáveis, fica fácil mostrar que as curvas têm o mesmo comprimento, mas aqui não estou considerando estas hipóteses.

 

Por que esse problema é interessante?

Se a resposta for sim, teremos um resultado mais geral do que os que aparecem nos livros (usam o teorema da mudança de variáveis).

Se a resposta for não, teremos detectado uma situação indesejável na teoria. Pelo menos imaginamos que dois “riscos” iguais devem ter a mesma medida (oras), independentemente da função que descreva tal “risco”. Imagino que se este fosse o caso, a “deficiência” estaria na integral, ou seja, para casos mais “exóticos” a integral não conseguiria fazer o seu trabalho.

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