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Artigo de Jornal Perdido do PET Matemática UFPR

Estou publicando esse texto porque uma edição do jornal do PET Matemática UFPR, a de maio de 2009, foi enviada para impressão e, que eu saiba, nunca mais voltou.

É claro que quero deixar registrado o texto que escrevi, mas quem sabe algum dia eu publique outros da mesma edição perdida, especialmente se os respectivos autores me solicitarem.

 

O trabalho que trato neste artigo também faz parte de:

 

Equações de Calor e de Ondas

Ao segundo ano do curso de Graduação em Matemática da UFPR, comecei a frequentar o PET e ver os trabalhos realizados. Rapidamente tive um sentimento de que meu curso não estava devidamente preenchido com atividades formativas de qualidade, ou, de maneira mais clara, estava me sentindo um “vagal”. Vendo meus amigos apresentarem trabalhos no EVINCI, percebi que já havia passado a hora de começar a minha própria pesquisa.

Típico de aluno iniciante, eu não fazia ideia do que poderia estudar, nem com qual professor. Perguntei para vários alunos e tive a informação de que o professor João Batista de Mendonça Xavier faz um bom trabalho com orientações para iniciação científica e mestrado. Além disso, na época eu tinha uma certa atração por análise matemática. Fui andando por perto do departamento de matemática e procurando o nome dele nas portas das salas e, sem nunca o ter visto antes, pedi orientação. Ele mesmo montou o programa de estudos levando em consideração as disciplinas em meu histórico. Iniciamos a pesquisa em março de 2007 como IC voluntário, e no segundo semestre de 2007 passamos o trabalho para o PET.

O principal objetivo da pesquisa era estudar as Equações do Calor e da Onda. Mas antes disso, como preparação e fundamentação, estudamos vários conceitos como Integral de Riemann, Seqüências e Séries de Funções e também uma longa jornada fazendo uma análise das Séries de Fourier. Por questão de espaço, vou só dar uma idéia do problema que envolve a Equação da Onda: Imagine, por exemplo, a corda de um violão. “Coloque” essa corda ao longo de um eixo x num plano (x,u). O nosso problema consiste em encontrar uma função u(x,t) que nos indique o deslocamento vertical de cada ponto da corda ao longo do tempo. Procurando por essa função, usamos a segunda lei de Newton e chegamos à Equação da Onda:

$$u_{tt}(x,t)=c(x,t)^2.u_{xx}(x,t)+h(x,t,u)$$

Quem for fazer o curso de EDP, sinta-se inspirado. Repare que essa equação tem várias soluções, e, para cada uma, podemos associar um movimento da corda. O problema agora é: que condições devemos colocar para que tenhamos uma e somente uma solução que descreva um certo movimento da corda? Podemos imaginar várias situações: por exemplo, o primeiro problema que estudamos foi com a condição das extremidades da corda ficarem fixas, com uma posição inicial e uma velocidade inicial de cada ponto da corda. O processo para encontrar uma função que satisfaça a equação e todas essas condições de maneira boa (queremos, por exemplo, que ela seja contínua, pensando no movimento da corda) não é nada fácil, exige um certo conhecimento de análise matemática e de séries de Fourier. Enfim, estudamos muitos outros problemas e até algumas aplicações, como o problema de Linhas de Transmissão de Energia Elétrica (que envolve também a equação do calor).

Finalizamos o trabalho em novembro de 2008. Não foi fácil, mas os resultados de aprendizado parecem promissores, já percebo grandes melhoras ao cursar a disciplina de Introdução à Teoria da Integração, e sei que terá muita influência em vários outros cursos.

Este trabalho gerou quatro seminários para o PET, duas apresentações no EVINCI (a de 2008 você pode ver em detalhes aqui), e o texto será publicado numa edição do Cadernos PET (ver Uma Peculiar Introdução às Equações Diferenciais Parciais). Agradeço muito ao meu orientador Xavier e aos integrantes do PET Matemática, as oportunidades que tive durante esta pesquisa não têm preço!

Renato Cesar Brodzinski
PET Matemática
Curitiba, maio de 2009

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