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Participações no Evento de Iniciação Científica da UFPR

O Evento de Iniciação Científica da Universidade Federal do Paraná (EVINCI), que em 2009 teve a sua décima sétima edição, tem como objetivo divulgar os resultados dos projetos de pesquisa realizados por alunos da universidade juntamente com seus orientadores.

Em 2009 o evento teve o tema Rumo aos 100 anos da UFPR – uma história de Ciência, Tecnologia e Inovação para o Desenvolvimento. Nos últimos anos o evento contou com cerca de 1000 trabalhos em cada edição, organizados em painéis e apresentados oralmente para bancas examinadoras.

Em 2008 o curso de Matemática (incluindo a Matemática Industrial) teve apenas 21 trabalhos apresentados, dos quais 10 foram realizados por alunos do PET Matemática (inclusive o meu). Como termo de comparação, o curso de Química apresentou 50 trabalhos (só a Química mesmo, sem contar a Engenharia Química). Em 2009 foram 18 para a Matemática (dos quais 9 do PET Matemática) e 35 para a Química.

As minhas participações no EVINCI foram em 2007, 2008 e 2009. Veja abaixo o que fiz em cada ano:

2009:

A Gênese Perplexa do Espaço de Minkowski

Ver também: “Por que i² = -1 ?” e “Por que j² = 1 ?“.

Orientador: José Carlos Cifuentes

Resumo:

Iniciamos esta pesquisa com uma construção alternativa dos números complexos com o objetivo de construir os números perplexos por analogia. Para tanto, damos uma motivação geométrica para definição de cada um desses sistemas de números, chegando de forma natural ao i complexo (tal que i² = -1), assim como ao j perplexo (tal que j² = 1).

O ponto de partida para ambos os sistemas de números é sua condição de planaridade o que nos permite mostrar que os complexos tem intrinsecamente uma geometria Euclidiana, estando associada à trigonometria usual, enquanto que os perplexos tem uma geometria Hiperbólica a qual terá associada, por analogia, uma “trigonometria hiperbólica”, baseada nas funções hiperbólicas reais.

Na segunda parte do trabalho construiramos uma extensão tetradimensional do sistema dos números perplexos por analogia com o sistema dos quatérnios, sistema que estende os números complexos, e analisamos sua relação com o chamado Espaço de Minkowski.

O resultado principal desta pesquisa é mostrar um novo olhar sobre esse espaço que é fundamental nas modernas teorias físicas, e a metodologia para a obtenção de resultados é a analogia como método de raciocínio não dedutivo em matemática.

2008:

Problema de Linhas de Transmissão de Energia Elétrica via EDP

Clique aqui para mais detalhes sobre este trabalho.
Ver também: artigo do jornal do PET e peculiar introdução às EPD’s

Orientador: João Batista de Mendonça Xavier

Resumo:

Como sequência do ano anterior, estudamos a Equação do Calor e a Equação das Ondas. Fizemos as deduções de ambas as equações, baseados em princípios físicos, e em seguida as suas respectivas formulações matemáticas dos problemas da condução do calor e da corda vibrante.

Encontramos a solução da equação do calor pelo Método de Fourier, e a generalizamos para alguns casos não homogêneos e para diversas condições iniciais e de fronteira, inclusive demonstrando a unicidade da solução via Princípio do Máximo. Pelo mesmo método, encontramos a solução para a equação das ondas e demonstramos sua unicidade, usando o Método da Energia.

Calculamos a energia da corda vibrante, dando as interpretações físicas dos fenômenos envolvidos. Estudamos como atuam na vibração algumas forças externas à corda, inclusive para cordas de comprimento infinito. Usando essas equações, a apresentação foi focalizada num problema de linhas de transmissão de energia elétrica.

2007:

Curvas Fechadas de Área Máxima

Orientador: João Batista de Mendonça Xavier

Resumo:

Na primeira etapa deste trabalho, estudamos conceitos básicos da Integral de Riemann (de uma função limitada, suas propriedades, exemplos e extensão para integral imprópria), seqüências e séries de funções e convergência uniforme envolvendo suas relações com as funções limites, cujo objetivo era chegar às séries de Fourier e suas aplicações.

Na segunda etapa fizemos uma análise concisa das séries de Fourier, abordando sua definição, teorema de Fourier, integração de séries de Fourier, estimativas dos coeficientes de Fourier, identidade de Parseval, convergência pontual e uniforme da série de Fourier, lema de Riemann-Lebesgue, desigualdades de Bessel, desigualdades de Cauchy-Shwarz e de Minkowiski, núcleos de Dirac, teorema de aproximação de Weierstrass, teorema de Fejér, funções de variação limitada e o problema isoperimétrico.

A apresentação foi voltada ao problema isoperimétrico, ou desigualdade isoperimétrica. Foi demonstrado, utilizando séries de Fourier, que a área A englobada por qualquer curva simples plana fechada retificável, de comprimento L, satisfaz à desigualdade e que a igualdade ocorre se, e somente se, esta curva for um círculo.

Homenagem ao amigo Juliano:

O nosso querido amigo Juliano Fogaça de Lima participou pela primeira vez do EVINCI em 2009, apresentando um interessante trabalho relacionando Matemática e Música. Observe como ele é um rapaz dedicado, feliz com o seu pôster, merecedor de uma homenagem:

Porém, o pobre rapaz inexperiente, apesar de ter revisado inúmeras vezes o seu pôster, não conhecia o simples teorema: “para todo pôster do EVINCI, existe pelo menos um erro de digitação”. A demonstração do teorema dispensa justificativas e o Juliano o aprendeu da pior maneira possível. Veja mais de perto:

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